Интересные факты о золотом сечении

Довольно часто говорят, что в математике есть своя красота, но уже к середине V века до н. э. или даже значительно раньше стало известно, что в красоте большое количество математики.

Число Фи

Золотое соотношение — это число, у которого, по всей видимости, больше имен, чем у любого другого. Его именуют золотым сечением, божественной пропорцией либо попросту — фи (φ). Это число обозначает очень приятную — в большинстве случаев — пропорцию, появляющуюся при делении чего-либо на две неравные части. Значительно чаще золотое соотношение возможно встретить при взоре на монументы искусства и архитектуры любого исторического периода. Свое имя число фи взяло в честь греческого архитектора и скульптора Фидия, который, по утверждению некоторых исследователей, деятельно применял данный принцип для украшения самого своего известного творения — Парфенона, возведенного в 440 г. до н. э. Старейшее сохранившееся до наших дней описание принципа золотого соотношения было сделано Евклидом около 300 г. до н. э. в его труде «Начала». Но самое восхитительное в числе фи — не его настоящее либо кажущееся присутствие в созданных человеком объектах (от кредитных карточек до рисунка Леонардо да Винчи «Витрувианский человек»), но его проявления в природе (рост цветов и ракушек, к примеру).

Интересный факт о золотом сечении №1. Пропорции соседних сегментов раковины моллюска наутилуса приближаются к золотому соотношению.

.
Интересный факт о золотом сечении №2. Не обращая внимания на то, что свое обозначение золотое соотношение взяло в честь Фидия, он не руководствовался этим принципом при разработке проекта Парфенона. Храм немного высоковат чтобы его пропорции строго отвечали стандарту золотого сечения — то ли из-за ошибки в расчетах, то ли вследствие того что Фидию так больше нравилось.

Вычисление золотого соотношения

Существует большое количество способов математически выразить золотое соотношение, и во всех этих методах имеется своя определенная простота, точность и обаяние. Эвклид обрисовывал его как «сечение в крайнем и среднем отношении». Более «математичное» выражение выглядит так: если золотое соотношение равняется х, то х² – х – 1 = 0. Либо так: х/1 = 1/х^-1 . Словами же золотое соотношение определяют как пропорцию, в которой «протяженность всей линии относится к большей ее части так же, как та — к меньшей».

Интересный факт о золотом сечении №3. Золотые прямоугольники возможно поделить на нескончаемое количество уменьшающихся в размерах золотых прямоугольников, «отрезая» от них части по кратчайшей линии. В терминологии греческой школы математиков такое свойство делает золотой прямоугольник гномоном — объектом, способным сохранять форму по мере роста (либо уменьшения).

Хороший пример золотого сечения — кредитная карточка, имеющая однообразные стандартные размеры во всем мире. В соответствии с правилами золотого соотношения, отношение ее маленькой стороны к длинной такое же, как отношение длинной к сумме длин короткой и длинной сторон. Это делает кредитку золотым прямоугольником. Такая форма была выбрана из-за своего сбалансированного вида — она не кажется ни через чур длинной, ни через чур широкой. Один из способов проверить, есть ли прямоугольник золотым, — расположить два прямоугольника рядом, один «поставив» вертикально на маленькую грань, другой «положив» прикасаясь к первому на долгую. Если диагональ, проходящая через углы расположенного горизонтально прямоугольника, продолжившись, достигнет верхнего угла прямоугольника, расположенного вертикально, прямоугольники являются золотыми. Значительно чаще данный принцип видится в архитектуре. Так, золотым прямоугольником является фасад здания ООН в Нью-Йорке.

Интересный факт о золотом сечении №4. Кредитная карточка является примером золотого прямоугольника. Также золотым прямоугольником является фасад здания ООН в Нью-Йорке

Математика в искусстве и природе

В золотом соотношении есть что-то прозаичное — по крайней мере, для тех, кто не владеет математическим складом ума. Речь идет о его численном выражении. Значение х в алгебраическом выражении х² –  х – 1 = 0 равняется 1,6180339887… и так без конца. Однако золотое соотношение имеет самое прямое отношение к западному искусству. В большой степени эта связь появилась благодаря трудам Луки Пачоли на рубеже XVI в. Пачоли был современником Леонардо да Винчи, и кое-какие из рисунков маэстро — включая наиболее известное изображение Витрувианского человека — появляются в книге Пачоли De Divina Proportione («Божественная пропорция»), изданной в 1509 г. В данной книге заложены базовые геометрические правила красоты, а вдохновлялся создатель числом фи. Так, в совершенных пропорциях человеческого тела соотношение роста до пупка и полного росту есть золотым. К сожалению, фактические измерения говорят о том, что в действительности «совершенных» тел фактически нет. В ХХ в. золотое соотношение высматривали в естественных формах. Те, кто делал это достаточно упорно, находили его в пропорциях листьев, распределении бутонов на стебле (природные закономерности скорее приблизительно подчиняются принципу последовательности Фибоначчи), кроме того в траектории пикирования охотящегося ястреба. Для кого-то это являлось свидетельством в пользу существования некоего замысла, в соответствии с котором организована сама природа. Для других же это означало, что наше восприятие красоты (либо, по крайней мере, приятной для глаз пропорциональности) продиктовано математикой роста, которая представляет повышение структур в размерах без утраты ими общей формы.

Интересный факт №5. Фактические измерения говорят о том, что в действительности «совершенных» тел, удовлетворяющих правилу золотого сечения фактически нет.

Золотая спираль

Спираль, разворачивающуюся в соответствии с принципом золотого соотношения, возможно выстроить посредством серии золотых прямоугольников. Это частный случай логарифмической спирали, расходящейся от осевой точки под постоянным углом (Математически более верно формулировать так: кривая, касательная к которой образует с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол). Эту спираль соотносят с именем Якоба Бернулли (не смотря на то, что первым обрисовал ее Декарт), главным исследователем ее свойств. Бернулли кроме того захотел, чтобы такую спираль выгравировали на его надгробии, но плохо подкованный в геометрии каменщик воспроизвёл там Архимедову спираль с более пологой траекторией расхождения.

Интереснычй факт №6. Бернулли хотел, чтобы золотую спираль выгравировали на его надгробии, но плохо подкованный в геометрии каменщик воспроизвёл там Архимедову спираль с более пологой траекторией расхождения.

Больше фактов о числах и новостей. История математики.