Содержание
Формулировка
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a² + b² = c², где c — гипотенуза, сторона против прямого угла.
Зная две стороны, всегда можно найти третью. Отсюда же берётся способ проверки: если для трёх сторон выполняется это равенство, треугольник прямоугольный — это обратная теорема, и именно она применяется в разметке.
Кто её доказал: честный ответ
Здесь исходная статья противоречит себе — сначала утверждает, что Пифагор был первым, кто доказал теорему, а через несколько абзацев пишет, что он её «даже не формулировал». Разберём, как на самом деле.
Соотношение было известно задолго до Пифагора:
- Вавилон, около 1800 г. до н. э. — табличка Plimpton 322 содержит список чисел, который читают как таблицу пифагоровых троек. Табличка YBC 7289 даёт диагональ квадрата со стороной 1 как 1;24,51,10 в шестидесятеричной записи — это √2 с точностью до шести десятичных знаков.
- Индия, «Шульба-сутры» (примерно VIII–V вв. до н. э.) — правило сформулировано словесно, для построения алтарей.
- Китай, «Чжоу би суань цзин» — соотношение «гоу-гу» с рисунком-обоснованием для треугольника 3-4-5.
О доказательстве Пифагора ничего сказать нельзя: от него не осталось ни строки, а первые сообщения о его роли написаны через пятьсот и более лет (Прокл, Диоген Лаэртский). Осторожная формулировка, принятая в истории математики: доказательство, по-видимому, появилось в греческой математике в VI–V вв. до н. э., а связывание его с именем Пифагора — традиция, восходящая к поздней античности.
Первое дошедшее до нас доказательство — у Евклида, «Начала», книга I, предложение 47; обратная теорема — предложение 48.
Сколько существует доказательств
Больше трёхсот пятидесяти: классическое собрание Элиши Лумиса «The Pythagorean Proposition» (1940) содержит 367 доказательств. Среди них:
- Евклидово — через равенство площадей («штаны Пифагора»);
- Китайское — перекладывание четырёх копий треугольника в квадрате со стороной (a + b); видно сразу, без слов;
- Доказательство Джеймса Гарфилда (1876) — через площадь трапеции; автор через несколько лет стал президентом США;
- Через подобие — высота из прямого угла делит треугольник на два подобных исходному;
- Новые доказательства появляются до сих пор, в том числе с использованием теоремы Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников.
Пифагоровы тройки
Наборы целых чисел, для которых равенство выполняется: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29. Их бесконечно много, и все примитивные тройки задаются формулой Евклида: a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² при взаимно простых m > n разной чётности.
Любопытное продолжение: для степеней выше второй таких троек нет вовсе — уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ при n > 2 не имеет решений в натуральных числах. Это Великая теорема Ферма, сформулированная в 1637 году и доказанная Эндрю Уайлсом в 1994-м.
О египетских землемерах
Утверждение, что египетские землемеры «неизменно пользовались канатами» с узлами 3-4-5, не подтверждается источниками. В египетских математических папирусах — Ахмеса и Московском — ни этой тройки, ни проверки прямого угла по сторонам нет; уклон задавался величиной сехед. Само предположение высказал в XIX веке историк математики Мориц Кантор, и с тех пор оно повторяется как факт.
Что верно: греки называли египетских землемеров гарпедонаптами — «натягивающими верёвки» (об этом пишет Демокрит в пересказе Климента Александрийского). Верёвки натягивали для измерений и ориентации — но о тройке 3-4-5 в этих сообщениях не говорится.
Теорема в суде
Случай действительно был: законы США предусматривают усиленное наказание за торговлю наркотиками в пределах 1000 футов (около 300 м) от школы, и возник вопрос, как мерить в городе — по улицам или напрямую. Суд в Нью-Йорке решил, что расстояние считается по прямой, то есть по гипотенузе, а не вдоль кварталов.
Уточнения к исходному тексту: в законе указаны футы, а не шаги, а «манхэттенское расстояние» (сумма длин по сторонам) — это реальный математический термин, метрика L¹, применяемая в анализе данных и при проектировании микросхем. Дело рассматривалось в середине 2000-х; указанный в статье 2002 год проверить по доступным источникам не удалось, поэтому дата убрана.
Пифагорейцы и числа
Символику чисел в исходной статье нужно исправить — она передана неверно. Традиционные пифагорейские значения таковы:
| Число | Значение |
|---|---|
| 1 | монада, начало, разум |
| 2 | двоица, женское, мнение, раздвоение |
| 3 | мужское, гармония (начало, середина, конец) |
| 4 | справедливость |
| 5 | брак — как сумма женского 2 и мужского 3 |
| 10 | тетрактис, совершенное число: 1 + 2 + 3 + 4 |
Самым замечательным числом была десятка, а не пятёрка.
И про запреты: пифагорейцам предписывалось не трогать белых петухов, потому что те считались посвящёнными богам, — то есть птиц надлежало оберегать, а не бояться. Запрет на бобы действительно был, но его причина неизвестна: Аристотель приводит несколько разных объяснений.
Иррациональность
Открытие, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, приписывают пифагорейцу Гиппасу (а не «Гиппасу» в значении ученика, посланного на рыбалку: эта легенда поздняя, её передают Ямвлих и Прокл через восемь веков после событий, и версии в них расходятся).
Само доказательство элементарно и приведено у Аристотеля: если √2 = p/q в несократимом виде, то p² = 2q², значит, p чётно, p = 2k, тогда q² = 2k², значит, и q чётно — противоречие.
Открытие действительно разрушало основное положение школы о том, что всё выразимо отношением целых чисел. Но заодно оно вынудило греческую математику создать теорию отношений для несоизмеримых величин — её построил Евдокс, и она изложена в книге V «Начал».
