Необходимые промежуточные понятия и определения

Дроби достаточно хороши для любой практической задачи на деление, и некоторое время древние греки были убеждены, что дроби описывают все во Вселенной.
Затем один из них разобрал следствия теоремы Пифагора и задался вопросом о том, как диагональ квадрата относится к его стороне.
Из ответа на этот вопрос следовало, что некоторые задачи решить с помощью дробей невозможно.
Так родились иррациональные числа. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

И. Стюарт

Прежде чем детально объяснить читателю какие числа являются иррациональными и каковы их свойства, потребуется напомнить некоторые базовые понятия.

Базовые понятия

Натуральными (от латинского “naturalis” – “естественный”) называют числа, возникшие из естественной нумерации предметов при счёте – например такие как 1, 2, 3 и так далее. Их последовательность, расположенная в порядке возрастания, образует так называемый натуральный ряд. Существует два конкурентных подхода к определению ряда натуральных чисел: в отечественной математической литературе он традиционно начинается с единицы, в зарубежной – с нуля.

Целыми называют числа, образованные расширением множества натуральных чисел посредством добавления отрицательных чисел и нуля: за счёт такого объединения в общем случае из меньшего числа можно вычесть большее, что уравнивает операции вычитания и сложения, образуя “кольцо целых чисел“.

Рациональными (от латинского “ratio” – “дробь”, “отношение”, часто в данном контексте неправильно толкуемое в популярных статьях как определение “разумный” либо аналогичное) числами называют числа вида m/n, где числитель m представлен целым числом, а знаменатель n – натуральным. Иначе говоря, рациональными являются те числа, которые возможно точно представить в виде обыкновенной дроби.

Пояснение-напоминание о дробях

Прежде чем дать определение какие числа называются иррациональными, потребуется напомнить читателю некоторые сведения о дробях и формах их представления. Общепринятыми для записи дробей являются два формата: обыкновенные (вида m/n) и десятичные (вида 0,12345). В случае десятичных дробей дополнительно вводится понятие периодичности: например, дробь 1/7 в десятичном виде может быть представлена как 0,(142857), где в скобках заключён бесконечно повторяющийся фрагмент – так называемый период дроби.

Определение иррациональных чисел

Итак, иррациональные числа – это такие числа, которые невозможно точно отобразить посредством обыкновенной дроби, но возможно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. С точки зрения иррациональности в математике, множество иррациональных чисел является разностью между множеством чисел вещественных и множеством чисел рациональных.

С понятием иррационального числа близко столкнулись ещё древние учёные: так, индийский математик Манава обнаружил, что диагональ условного квадрата с единичной стороной имеет размерность √2, что невозможно выразить явно доступными в то время средствами. Другим известным примером является так называемая “постоянная Архимеда” – число Пи (отношение диаметра окружности к её длине). Важно понимать, что для инженерных расчётов возможно использование его рациональных приближений различной степени точности в виде дробей 22⁄7, 179⁄57, 223⁄71 и так далее, но ни одна из этих дробей по определению не является точным представлением числа Пи.

Некоторые примеры рациональных и иррациональных чисел:

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”]  рациональные – дроби типа 1/3 или 0,(142857) и им подобные;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”]  иррациональные – квадратные корни √2, √3 и √5, основание натуральных логарифмов e, число Пи и так далее.[/vc_message]

Легко заметить, что отрицательные иррациональные числа отличаются от положительных лишь знаком и располагаются на числовой прямой симметрично относительно начала координат (нуля).

Общие признаки рациональных выражений/чисел

Вопрос “как определить иррациональные числа” не имеет однозначного ответа: если имеется некое математическое выражение для числа, то для выяснения его рациональности/иррациональности потребуется произвести детальное исследование. Резко сократить время на поиск требуемого доказательства возможно, если пойти от противного: убрать из рассмотрения числа, не являющиеся иррациональными. По определению, к ним не могут принадлежать:

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”]  все целые, натуральные и рациональные числа;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] обыкновенные дроби и смешанные числа;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”]  бесконечные и конечные периодические десятичные дроби.[/vc_message]

Результат математических операций (сложение, умножение, вычитание и деление) над рациональными числами также не является иррациональным числом. Если в исследуемое выражение входит единственное иррациональное число, то результат также будет иррациональным – однако для случая двух и более вхождений это, вообще говоря, неверно.

Некоторые признаки иррациональных выражений/чисел

Вот некоторые общеупотребительные признаки иррациональности исследуемого выражения/числа:

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] корень k-ой степени из целого числа будет рациональным только тогда, когда подкоренное выражение является k-ой степенью иного целого числа;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] в случае использования обычных логарифмов иррациональность выражения непременно требует доказательства (здесь удобнее всего пользоваться методом “от противного”);[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] поскольку основанием натуральных логарифмов является иррациональное число e, то натуральный логарифм любого положительного числа также будет иррациональным;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] иррациональное число e в любой рациональной (но отличной от нуля!) степени даёт иррациональный результат;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] число Пи в любой целой и отличной от нуля степени даёт иррациональный результат;[/vc_message]

[vc_message color=”info” icon_type=”fontawesome”] все основные тригонометрические функции (такие как cos(a), sin(a), tg(a) и ctg(a)) при использовании отличного от нуля рационального аргумента в качестве результата дают иррациональное число.[/vc_message]

Интересные факты об иррациональных числах

Как известно Пифагор возвёл числа во главе культа, основным постулатом которого являлось то, что всё во вселенной являлось целочисленном выражении. Его учение собрало последователей в тайное сообщество математиков – пифагорейцев, которое возглавил сам Пифагор. Один из последователей Пифагора – Философ-пифагореец Гиппас высчитал, что в случае, если стороны треугольника равны одной мере длины, то протяженность гипотенузы составит корень из числа 2 ( v2). Ответ полученный при извлечении квадратного корня является целым числом, а значит не имеет точного целочисленного значения, т.е. является ни чем иным как иррациональным числом. Интересный факт в том, что Пифагор, узнав что Гипас ставит под сомнение его учения о целочисленности природы, хоть и не специально, пригласил его на рыбалку, а на берег возвратился уже в одиночку… Гипаса после этой рыбалки никто уже больше не видел.

Выводы

Все вышеперечисленные признаки являются плодом строгого математического доказательства, а иные конкретные частные случаи требуют дополнительного исследования – то есть не существует всеобщих, однозначных и очевидных признаков иррациональности. Например, возведение в иррациональную степень иррационального числа совершенно не обязательно сопровождается получением иррационального результата. Кроме того, имеются частные случаи, когда вычитание, сложение, деление и умножение иррациональных чисел в итоге даёт рациональный результат. В общем случае для доказательства рациональности/иррациональности применяется специальная доказательная база, строящаяся на теории алгебраических и трансцендентных чисел. Особо отметим, что для целого ряда случаев рациональность либо иррациональность выражения/результата не доказана до сих пор.