Язык чисел

Язык чисел

Понятие числа – основное в математике.

Различие между «одно и много», по-видимому, относится к простейшим, доступным пониманию даже ребенка. Мальчик на берегу моря может взять один камешек, хотя видит много их. Взяв пригоршню камешков, он будет держать в руке более одного камешка, но гораздо меньше того, что видит. Чтобы установить точно, сколько у него камешков, мальчик может пересчитать их. Предположим, их 12. «Двенадцать» – название, данное этому числу камешков. Тем же свойством обладают все наборы из 12 предметов: 12 коров, 12 чаек, 12 энциклопедий и т. д.

Положительные и отрицательные числа

Такие целые числа, как 1, 5 и 212, называются положительными целыми числами. Люди пользовались ими задолго до того, как научились считать. В средние века индусы разработали понятие отрицательного числа, что позволило манипулировать при расчетах не только с наличными предметами, но и с долгами. Скажем, человек имеет пять (+ 5) овец, но он должен две (— 2) овцы, поэтому в действительности ему принадлежат только 5 — 2 = 3 овцы.

Покуда математические операции ограничены счетом, можно обойтись целыми числами.

Но стоит перейти к измерениям, как выясняется, что длины и площади в природе не всегда выражаются целыми числами. Крестьянин может изготовить мерную линейку, взяв, например, за единицу длины собственную стопу. Измерив линейкой одно из своих животных, крестьянин обнаружит, что его длина 5 «стоп», а длина детеныша – только 2 «стопы». Другое животное может иметь в длину 3 1/2 «стопы», третье – 2 1/3 «стопы». Так крестьянин откроет семейство чисел, называемых рациональными. Любое число, которое можно записать в виде дроби (отношения двух целых чисел), называется рациональным. Рациональные числа могут быть положительными и отрицательными. Все целые числа рациональны.

В VI в. до н. э. греческие математики обнаружили, что квадрат с единичными сторонами имеет диагонали, длину которых невозможно измерить точно. Независимо от выбора единицы длины и того, на сколько мелких долей она будет разделена, длину диагонали не удается измерить точно и записать в виде дроби.

Числовую систему пришлось расширить, чтобы включить в нее новый класс чисел, называемых иррациональными.

Сегодня мы обозначаем нулем (0) длину отрезка, в котором не укладывается ни одна сколь угодно малая доля единицы длины, но так было не всегда. Например, в римской числовой системе нуля не было. Его ввели около 600 г. до н. э. индийские математики, которые сформулировали правила для вычислений с нулем: при умножении на нуль любого числа произведение всегда равно нулю, от прибавления или вычитания нуля число не изменяется. Индийские математики установили также, что результат деления на нуль не может быть равен ни одному из чисел.

Бесконечность и мнимые числа

Представление о бесконечно больших числах первым ввел древнегреческий великий математик Архимед (около 287 – 212 гг. до н. э.). Начав с наибольшего в греческой числовой системе числа – «мириада мириад» (100 млн.), он построил еще большие числа; затем, оценив число песчинок во Вселенной, показал, что оно меньше наибольшего из полученных им чисел.

Архимед доказал, что в числовой системе не существует верхнего предела. В отличие от нуля бесконечность не число. Каким бы большим ни было число, всегда найдется сколько угодно еще больших чисел. Бесконечность недостижима.

С нулем и бесконечностью люди получили полную числовую систему, которую можно изобразить в виде прямой, простирающейся от минус бесконечности до плюс бесконечности (каждая точка прямой соответствует какому-нибудь вещественному числу). Возведение в квадрат и извлечение квадратных корней поставило перед математиками новую проблему: чему равен квадратный корень из -5? Сначала она казалась неразрешимой, так как не существует вещественного числа, квадрат которого был бы отрицательным? Но в XVI в. итальянские математики ввели «мнимую» единицу I, квадрат которой равен — 1. Числа, содержащие i, называются мнимыми.

Комплексные числа состоят из вещественной и мнимой частей, например 5 + 3i. Обращаться с ними можно так же, как с чисто вещественными числами. Комплексные числа используются при расчетах электрических цепей.

Современная система счисления заимствована у арабов, которые переняли ее идеи у индусов.

В ней существенно положение цифры. Все числа можно записать при помощи цифр от 0 до 9. Это – система счисления с основанием 10 (десятичная система), введенная в Европе около 1120 г. Аделардом из Бата и распространившаяся к 1600 г. почти повсюду.

Что такое основание системы счисления

Основание – это число цифр в системе счисления. Положение цифр существенно: например, в числе 333 первая цифра 3 означает 300 (3 сотни), вторая-30 (3 десятка) и третья-3 единицы. Но в принципе основанием может быть любое число. Например, современные ЭВМ считают в двоичной системе (с основанием 2), так как состояния «сигнал» – «нет сигнала» легко представить лишь двумя цифрами 1 и 0.