[toc]

Великая теорема Ферма

Тяжело отыскать более известное математическое утверждение, чем последняя теорема Ферма. Собственной обманчивой простотой она завлекала внимание к себе в течении более чем 350 лет.

От Автора статьи (книги)

И вот, наконец, теорема Ферма доказана. История ее доказательства лишь за последние двадцать лет уже заслуживает отдельного описания: сообщение с догадкой Таниямы, объявление о доказательстве Мияоки, последующее разочарование и газетная шумиха в 1993 году, и, наконец, заявления об публикации и окончательном доказательстве в 1995 году. Учитывая ажиотаж, появившийся по окончании объявления премии в 1908 году и не утихший до сих пор, тяжело поверить, что в данной интригующей истории поставлена последняя точка…
И однако, перед нами книга, в которой детально прослежена вся история доказательства от появления самой неприятности на полях «Математики» Диофанта в 1637 году до публикаций Э. Уайлса и Р. Тейлора в 1995 году. Столь долгий временной промежуток разрешил автору сказать множество увлекательных и неизвестных подробностей из истории математики.
Эта книга была размещена в 1997 году и стала бестселлером. Ее автору удалось удачно дать добро тяжёлую задачу: написать подробный и интересный рассказ о доказательстве математической теоремы, фактически не применяя математический аппарат. Конечно же, это произошло лишь при помощи многих чрезмерных упрощений. Характерной изюминкой книги есть да и то, что она написана, как это и отражено в предисловии, по «горячим» следам событий. К сожалению, это стало причиной появлению некоторых неточностей, а время от времени и прямых неточностей. Однако, мы уверены, что публикация данной книги на русском вызовет большой интерес.
Напоследок нам хотелось бы привести пара ссылок. Так, уникальные изучения Ферма возможно отыскать в [1]. Хорошие результаты возможно отыскать в [2,3]. О связи теоремы и эллиптических кривых Ферма см. [4].

Начальные книги по теории чисел, модулярным формам и эллиптическим функциям

В качестве начальных книг по теории чисел, модулярным формам и эллиптическим функциям мы рекомендуем [4,5,6,7].
1. Ферма П. Изучения по теории чисел и диофантову анализу. — М.: Наука, 1992.
2. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980.
3. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982.
4. Прасолов В.В., Соловьев Ю. П. алгебраические уравнения и Эллиптические функции. — М.: Факториал, 1997.
5. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
6. Коблиц Н. Введение в модулярные формы и эллиптические кривые. — М.: Мир, 1988.
7. Айерланд К., Роузен М. Хорошее введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

Предисловие

Наконец-то мы сошлись в одно да и то же время, и в одном и том же месте — в зале, заполненного не до отказа, но все же так просторном, дабы вместить сотрудников матфакультета Принстонского университета, где они планировали по какому-нибудь праздничному предлогу. В тот сутки людей в зале было не так уж и большое количество, но все же достаточно для того, чтобы я не имел возможности с уверенностью сообщить, кто из них Эндрю Уайлс. Оглядевшись, я через пара мин. обратил внимание на скромного вида человека, который, выпивал чай, слушал, о чем говорили находившиеся поблизости коллеги, и был очевидно загружён в ритуальный процесс «собирания с мыслями», которым около четырех часов дня поглощены математики во всем мире. Что же касается его, то он просто догадался, кто я.
Дело было в конце очень напряженной семь дней. Мне удалось встретиться с несколькими превосходнейшими математиками из сейчас здравствующих, и мало-помалу я начал разбираться в их мире. Но не обращая внимания на все усилия поймать Эндрю Уайлса, мы заметили друг друга в первый раз. Я желал поболтать с ним и убедить его учавствовать в документальном фильме, для передачи «Горизонт» на BBC, о взятом им замечательном результате. Эндрю Уайлс был тем самым человеком, который сравнительно не так давно во всеуслышание заявил что ему удалось отыскать Святой Грааль математики — подтверждение Великой теоремы Ферма. На протяжении последовавшего после этого беседы Уайлс был рассеян и держался замкнуто, и не смотря на то, что он был вежлив и дружелюбен, было ясно, что ему весьма хочется поскорее отделаться от меня. Уайлс без обиняков объявил, что не имеет возможности на данный момент сосредоточиться ни на чем, не считая работы, которая, он утвержает, что находится в критической стадии, и что, быть может, позднее, в то время, когда схлынет напряжение, он с наслаждением примет участие в фильме.
Мне было известно (и он это знал), что самая честолюбивая мечта его жизни упала. Святой Грааль, который он уже было держал в руках, на деле был не более чем весьма прекрасным, драгоценным, но все-таки обычным сосудом для питья. Дело в том, что в своем доказательстве, о котором он возвестил математическому миру, Уайлс отыскал неточность.
История Великой теоремы Ферма неповторима. К тому времени, в то время, когда мне в первый раз довелось встретиться с Эндрю Уайлсом, я уже пришел к пониманию того, что это — воистину одна из величайших историй в сфере научной деятельности. Я видел своими глазами заголовки летом 1993 года, в то время, когда подтверждение теоремы Ферма вынесло математику на передние полосы национальных газет всей земли. К тому времени у меня в голове сохранились только очень смутные воспоминания о том, что такое Великая теорема Ферма, но было разумеется, что это что-то очень и очень особое и что в передаче «Горизонт» ей стоит посвятить фильм. в течении нескольких недель я побеседовал со многими математиками: теми, кто принимал яркое участие в истории либо прекрасно знал Эндрю, и теми, кто восхищение от сознания того, что им довелось стать свидетелями великого события в своей опытной области. Все щедро делились со мной своими познаниями из истории математики и терпеливо втолковывали мне сущность свершившегося, не смотря на то, что в обрушившихся на меня понятиях я разбирался очень слабо. Скоро стало ясно, что речь заходит о предмете, которым во всей его полноте обладает чуть ли полдюжины людей во всем мире. Какое-то время я кроме того начал задумываться над тем, не сошел ли я с ума, пробуя снять фильм о решении теоремы Ферма. Но от своих собеседников я кроме этого определил о богатой истории данной неприятности и громадном значении Великой теоремы Ферма для математики и ее приложений и осознал, что именно тут и кроется настоящий сюжет фильма.
Я выяснил, что своими корнями Великая теорема Ферма уходит в Старую Грецию и что в теории чисел она высится, подобно гималайскому пику. Я почувствовал эстетическую привлекательность математики и начал ценить в ней то, что разрешает считать эту науку языком природы. Коллеги Уайлса помогли мне постичь титаничность его усилий по собиранию всех наиболее современных способов теории чисел с целью последующего применения их для доказательства Великой теоремы Ферма. От друзей Эндрю в Принстоне я услышал о тернистом пути к успеху, пройденном Эндрю за годы изучений, совершённых в одиночестве. Около Эндрю Уайлса мне удалось нарисовать воистину шаг и удивительную картину за шагом сложить головоломку, господствовавшую над его судьбой, но, казалось, мне так и не суждено встретить этого человека.
Не смотря на то, что Уайлс применяет в своем доказательстве сложнейшие математические способы, я понял, что красота Великой теоремы Ферма содержится в том, что уяснить саму проблему очень легко. Это — головоломка, формулируемая так, что она понятна любому школьнику. Пьер де Ферма был человеком, воспитанным в традициях Восстановления, и пребывавшим в самом центре повторного открытия древнегреческого знания. Но Ферма сумел поставить вопрос, который не додумались задать древние греки, и в следствии он стал автором тяжёлой неприятности на Земле, решать которую было нужно другим. Как будто бы дразня потомков фальшивыми надеждами, Ферма покинул им краткое сообщение, в котором уведомлял о том, что знает решение, но умалчивал о том, в чем как раз оно состоит. Так началась гонка, которая длилась три столетия.
То, что теорема Ферма не была доказана так долго, придает ей особенную значимость. Тяжело привести еще какую-нибудь проблему из любой области науки, которая была бы сформулирована столь легко и светло и выдержала бы диагностику все прогрессирующего знания в течении столь громадного промежутка времени. Отыщем в памяти огромные удачи, достигнутые в развитии физики, химии, медицины и инженерного дела с XVIII века. От «гуморов» в медицине мы увеличились до расщепления гена на составные части, открыли элементарные частицы из которых состоит атом, высадили людей на Луну, но в теории чисел Великая теорема Ферма оставалась неприступной крепостью.
Проводя свои изыскания, я желал осознать, из-за чего Великая теорема Ферма так значительна (и не только для математиков) и из-за чего так принципиально важно создать фильм о ней. Математика имеет множество практических приложений. При теории чисел, самые увлекательные из них, на мой взор, видятся в криптографии, проектировании глушителей акустических сигналов и задачах связи с космическими судами, находящимися на громадном удалении. Ни одно из этих приложений, как возможно делать выводы, не может быть особенно привлекательным для широкой аудитории. Значительно более привлекательными были сами математики, и та горячность, с которой они говорили о проблеме Ферма.
Математика — одна из наиболее чистых форм мышления, и для посторонних математики смогут показаться людьми не от мира этого. Во всех моих беседах с математиками меня поражала необычайная точность, с которой они высказывали свои мысли. На непростой вопрос ответ приходилось ожидать, пока правильная структура не вырисовывалась со всей четкостью в уме математика, но позже следовал таковой ясный и четкий ответ, о каком я имел возможность лишь грезить. В то время, когда я задал вопрос об этом Питера Сарнака, друга Эндрю, он растолковал мне, что математики не смогут высказывать фальшивые утверждения. Очевидно, они применяют интуицию и не чужды вдохновения, но формальные суждения должны быть логически безукоризненными. Подтверждение лежит в самом сердце математики, и это то, что отличает математику от других наук. В других науках имеются догадки, контролируемые на экспериментальных данных и в итоге отвергаемые и заменяемые новыми догадками. В математике целью есть логически безукоризненное, полное, подтверждение, да и то, что доказано, доказано на вечные времена — для каких-либо трансформаций не остается места. Великая теорема Ферма стала величайшим вызовом математикам, и тот, кто сумел бы решить проблему Ферма, заслужил бы восторженное поклонение всего математического сообщества.
За ее подтверждение предлагались призы; процветало соперничество. У Великой теоремы Ферма богатая история, знавшая мошенничество и смерть. Она оказала определенное влияние на развитие математики. По словам доктора математических наук Гарвардского университета Барри Мазура, Ферма вдохнул жизнь в те разделы математики, каковые были связаны с первыми попытками доказать Великую теорему. По иронии судьбы, оказалось, что один из как раз таких разделов математики занял центральное место в окончательном варианте доказательства Уайлса.
Неспешно проникаясь пониманием незнакомой мне ранее области, я заключил, что Великая теорема Ферма сыграла ключевую роль в развитии математики и что ее история шла параллельно истории самой математики. Ферма стал отцом современной теории чисел. С того времени, в то время, когда он жил и работал, математика получила новую жизнь, начала развиваться и разделилась на множество областей, в рамках которых новые способы содействовали происхождению новых результатов либо прекратили свое развитие, исчерпав проблематику. По прошествии столетий Великая теорема Ферма, казалось, все больше отходила от переднего края математических изучений, все более преобразовываясь в курьез. Но как сейчас стало очевидным, она не потеряла своего центрального места в математике.
Неприятности, которые связаны с числами, — наподобие той, которую сформулировал Ферма, — помогают своего рода испытательным полигонами для разгадывания головоломок, а математики весьма обожают разгадывать головоломки. Для Эндрю Уайлса Великая теорема Ферма стала головоломкой особенного рода: решить ее стало мечтой всей его жизни. Тридцать лет назад, в то время, когда он еще был мальчишкой, Великая теорема Ферма поразила его воображение и навсегда запала в сердце. Летом 1993 года ему удалось отыскать ее подтверждение в следствии семилетней самоотверженной работы над проблемой, потребовавшей от него решимости и такой сосредоточенности, какие конкретно тяжело себе представить. Многие из использованных им способов еще не были созданы, в то время, когда он приступил к работе. Он слил воедино труды многих отличных математиков, установил связи между разными идеями и создал новые понятия, о которых другие математики опасались кроме того думать. В каком-то смысле, как сообщил Барри Мазур, оказалось, что все думали над проблемой Ферма, но думали порознь, не помышляя о том, дабы отыскать ее решение, по причине того, что подтверждение Великой теоремы Ферма потребовало бы всей мощи современной математики. То что сделал Эндрю, сводилось к восстановлению связей между разделами математики, казалось, разошедшимися навсегда. Его работа исходя из этого стала своего рода оправданием всей диверсификации, которую претерпела математика с того времени, как была сформулирована неприятность Ферма.
История Великой теоремы Ферма завершилась самым действенным образом. Для Эндрю Уайлса отысканное им подтверждение означало конец изоляции, практически чуждой математике, которая в большинстве случаев представляет собой коллективную деятельность. В нарушение всех традиций Уайлс хранил молчание о своей работе впредь до ее последней стадии. И его молчание являлось мерой значительности Великой теоремы Ферма. Уайлс был движим настоящей страстью — жаждой не смотря ни на что стать тем, кто примет решение проблему Ферма, страстью столь сильной, что она вынудила Уайлса посвятить семь лет своей жизни осуществлению своего намерения и направляться достижению поставленной цели. Уайлс превосходно знал, что какое количество малозначительной ни считали проблему Ферма его коллеги-математики, накал состязания за решение данной неприятности не ослабевал, и исходя из этого Уайлс не имел возможности рискнуть, заявив во всеуслышание о том, что он пробует отыскать подтверждение Великой теоремы Ферма.
Совершив продолжительные семь дней за изучением того, что происходит в математике, я прибыл в Принстон. Для математиков накал чувств был довольно большой. Мне раскрывалась история соперничества, успеха, одиночества, гения, успеха, ревности, ожесточённого прессинга, потерь а также трагедии. В центре догадки Шимуры-Таниямы, сыгравшей решающую роль в решении Великой теоремы Ферма, была ужасная послевоенная жизнь в Японии Ютаки Таниямы, историю которого я имел честь выслушать от его друга Горо Шимуры. От Шимуры я определил кроме этого о понятии «доброкачественности» в математике, где все прекрасно оттого, что все хорошего качества. Каким-то образом чувство доброкачественности в то лето пронизывало атмосферу математики. Все наслаждались знаменательным моментом.
Учитывая все сообщённое, не приходится удивляться тому грузу ответственности, который почувствовал Эндрю, в то время, когда в осеннюю пору 1993 года стало ясно, что в его доказательстве допущена неточность. Взгляды всей земли были обращены на него, коллеги призывали его опубликовать подробное подтверждение, в том либо в другом виде (лишь он один знал, в каком как раз виде), но основное было в том, что строгого доказательства у него не было! Роковой переход от занятий математикой в продвижения и домашней обстановке в собственном темпе к работе на публике был совершен. Эндрю человек глубоко домашний, и он приложив все возможные усилия боролся за то, дабы оградить свою семью от разразившейся около него бури. Всю неделю, которую мне довелось провести в Принстоне, я звонил, оставлял записки в офисе, у дверей его квартиры, передавал через его друзей… Но Уайлс настойчиво сопротивлялся всем моим «подходам» пока у меня не остался один-единственный шанс повидаться с ним в сутки моего отъезда. Последовала негромкая насыщенная беседа, которая продлилась всего-навсего пятнадцать мин..
Однако, в то время, когда мы расстались в тот сутки, между нами царило познание. В случае если Уайлсу удается исправить подтверждение, то он обязательно отыщет меня, и мы обсудим план фильма. Я приготовился ожидать. Но в то время, когда я вечером летел к себе в Лондон, мне казалось, что телевизионная передача погибла, так и не успев появиться. За триста лет еще никому не удалось заштопать прорехи, найденные в бессчётных попытках отыскать подтверждение Великой теоремы Ферма. История усеяна фальшивыми заявлениями «ферматистов», которым якобы удалось доказать Великую теорему Ферма. Я от души хотел, дабы Эндрю стал исключением, но четко осознавал, что его имя вероятнее окажется на одном из надгробий математического кладбища.
Год спустя мне позвонили. Совершив необычайный поворот в математических рассуждениях, в порыве вдохновения постигнув истину, Эндрю наконец завершил подтверждение Великой теоремы Ферма. К тому времени я успел пригласить Саймона Сингха учавствовать в создании фильма, и мы оба стали проводить время с Эндрю, слушая от самого автора доказательства подробную историю семи лет изучений в одиночестве и последовавшего после этого годичного ада. В то время, когда мы снимали фильм, Эндрю поведал нам то, о чем он не сказал никому прежде: о своих сокровеннейших мыслях по поводу того, что ему удалось совершить; о детской мечте, довлевшей над ним в течении тридцати лет; о том, сколько разделов математики ему было нужно изучить, не зная еще, что он занимается сбором орудий для решения Великой неприятности, игравшейся главенствующую роль во всей его математической карьере; о том, что ничего аналогичного больше с ним не случится; об охватившем его эмоции утраты неприятности Ферма, которая более уже не будет его постоянным компаньоном; о эмоции душевного подъема, которое охватывает его при мысли о том, что он совершил. Для Эндрю подтверждение Великой теоремы Ферма было завершением одной из глав его жизни, мне же выпала высокая честь прикоснуться к столь знаменательному событию.
Наш фильм был продемонстрирован по телевидению BBC в программе «Горизонт» называющиеся «Великая теорема Ферма». Саймон Сингх развил то, что нам удалось осознать из конфиденциальных бесед с Эндрю Уайлсом, и насытил материал фактами из богатой истории доказательства данной теоремы. Так показалась на свет эта книга, воображающая собой полную и общедоступную письменную версию одного из величайших событий в истории людской мысли.
Март 1997 г.
Джон Линч
Редактор серии «Горизонт» телевидения BBC

Введение

История Великой теоремы Ферма неразрывно связана с историей математики, поскольку затрагивает все главные темы теории чисел. Она открывает неповторимую возможность осознать, что движет математикой и что дает вдохновение математикам, — а это, быть может, кроме того более принципиально важно. Великая теорема Ферма образовывает центральное ядро захватывающей истории о смелости, мошенничестве, трагедии и хитрости, — истории, которая так или иначе затрагивает всех величайших героев математики.
Своими корнями Великая теорема Ферма уходит в математику Древней Греции — за две тысячи лет перед тем, как Пьер де Ферма сформулировал свою проблему в том виде, в каком мы знаем ее сейчас. Так, Великая теорема Ферма связывает основания математики, заложенные Пифагором, с наиболее изощренными идеями современной математики. При написании данной книги я опирался на хронологическую последовательность событий, начиная с революционного эпоса пифагорейского братства и заканчивая личной историей Эндрю Уайлса — его упорной борьбы за то, дабы отыскать решение головоломки Ферма.
Глава 1 повествует о Пифагоре и растолковывает, из-за чего теорему Пифагора можно считать прямым предком Великой теоремы Ферма. В данной же главе обсуждаются фундаментальные понятия математики, видящиеся в данной книги. В главе 2 излагается история от Древней Греции до Франции XVIII века, в то время, когда Пьер де Ферма создал самую глубокую в истории математики задачу-головоломку. Пара страниц посвящено описанию жизни Ферма и дискуссии его некоторых других блестящих открытий. Это окажет помощь лучше осознать необыкновенный темперамент Ферма и его вклад в математику (на большом растоянии выходящий за рамки Великой теоремы, носящей сейчас его имя).
Главы 3 и 4 обрисовывают попытки доказать Великую теорему Ферма, предпринятые в XVIII, XIX и начале XX века. Не смотря на то, что эти попытки окончились неудачей, они стали причиной созданию поразительного арсенала средств и математических методов. Кое-какие из этих способов были использованы в ряде самых последних попыток доказать Великую теорему Ферма. Помимо этого, в этих главах читатель отыщет сведения о многих математиках, чье творчество в той либо другой степени было связаны с наследием Ферма.
Остальные главы книги содержат хронику превосходных событий последних сорока лет, в течение которых в изучении Великой теоремы Ферма случился переворот. В частности, в главах 7 и 8 главное внимание уделено работе Эндрю Уайлса, чей героический прорыв, идеальный в последнее десятилетие, поразил математическое сообщество. В базу этих последних глав положены широкие интервью с Эндрю Уайлсом. Для меня они стали уникальной возможностью услышать от яркого участника событий о самом необыкновенном приключении XX века. И я надеюсь, что мне удалось передать то героизм и творческое горение, каковые потребовались Уайлсу, дабы с честью выдержать жёсткие опробования, продолжавшиеся целое десятилетие.
Говоря легенду о Пьере де Ферма и придуманной им поразительной задаче, я пробовал растолковывать математические понятия не прибегая к уравнениям, но x, y и z иногда неизбежно поднимали свои головы. Всегда, в то время, когда уравнения все же появляются в тексте, они снабжены достаточными пояснениями и не вызовут трудностей у читателей, не владеющих математической подготовкой. Для тех же читателей, чьи познания в математике глубже, я привожу пара приложений, в которых затрагиваемые по большей части тексте математические идеи излагаются более детально. Помимо этого, в конце книги приведен перечень литературы для предстоящего чтения. В большинстве случаев, в него вошли книги, из которых читатель-невеликий математик может на доступном для себя уровне взять представление о том либо другом разделе математики.
Создание книги было бы нереально без участия и помощи многих людей. Особенно я желаю поблагодарить Эндрю Уайлса, который, вопреки обыкновению, давал продолжительные и подробные интервью в самый разгар работы над решением проблемы Ферма. За семь лет работы на поприще научной журналистики я не встречал никого, кто был бы так глубоко предан своей работе, и я навсегда сохраню признательность доктору наук Уайлсу за его готовность поведать мне свою историю.
Я желаю кроме этого поблагодарить других математиков, каковые помогли мне написать эту книгу и любезно дали согласие дать мне подробные интервью. Одни из моих собеседников сами учавствовали в попытках отыскать подтверждение Великой теоремы Ферма, другие были свидетелями исторических событий, случившихся за последние сорок лет. Часы, каковые я совершил, разговаривая и обмениваясь с ними шутливыми замечаниями, доставили мне необычайную радость, и я высоко ценю то энтузиазм и терпение, с которыми они растолковывали мне сущность многих красивейших математических понятий.
Я желал бы особенно поблагодарить Джона Коутса, Джона Конвея, Ника Каца, Барри Мазура, Кена Рибета, Питера Сарнака, Горо Шимуру и Ричарда Тейлора.
Свою книгу я стремился проиллюстрировать как возможно солидным числом портретов, дабы читатель составил лучшее представление о тех, кто участвовал в истории Великой теоремы Ферма. архивы и Различные библиотеки сделали все возможное, что было в их силах, дабы оказать помощь мне. Я желаю выразить особенную признательность Сьюзен Оукес из Английского математического общества, Сандре Камминг из Королевского общества и Яну Стюарту из Варвикского университета. Я признателен кроме этого Жаклин Савани из Принстонского университета, Дункану Макагнусу, Джереми Грею Полу Балистеру из Университета сэра Исаака Ньютона за их помощь в подборе исследовательского материала. Я благодарен Патрику Уолшу, Кристоферу Поттеру, Бернадетте Альвес, Санджиде О’Коннел и моим родителям за их комментарии и поддержку, оказанную мне в последний год.
Наконец, многие интервью, каковые упоминаются в книге, были взяты, в то время, когда я работал над документальной частью телевизионного фильма о Великой теореме Ферма. Я желаю поблагодарить BBC, разрешившую мне воспользоваться этим материалом и в особенности Джона Линча, который работал совместно со мной над этим фильмом и содействовал пробуждению моего интереса к Великой теореме Ферма.
Март 1997 г.

Глава 1. «Думаю, мне следует остановиться»

Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, но не математические идеи. Возможно, бессмертие — глупое слово, но, по всей видимости, великий математик имеет наилучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.
Г.Г. Харди

Кембридж, 23 июня 1993 года
Это была самая ответственная лекция по математике столетия. Двести математиков сидели, как завороженные. Только четверть из них всецело осознавала густую мешанину из алгебраических символов и греческих букв, которая покрывала доску. Остальные находились лишь чтобы стать очевидцами события, которое, как они сохраняли надежду, станет воистину историческим.
Слухи поползли незадолго до. По email распространилось сообщение, в котором высказывалось предположение, что намеченная на 23 июня 1993 года лекция может стать кульминационным моментом в отыскивании доказательства Великой теоремы Ферма — самой известной математической неприятности. Для того чтобы рода слух не был чем-то необыкновенным. Великая теорема Ферма довольно часто бывала темой бесед за чашкой чая, и математики принимались рассуждать о том, кто имел возможность бы отыскать подтверждение. Время от времени смутные беседы математиков в помещении для участников колледжей превращали предположения в слухи о якобы отысканном доказательстве Великой теоремы Ферма, но из этих слухов ни при каких обстоятельствах ничего не материализовалось.
В этом случае слух был иного рода. Один из аспирантов Кембриджского университета был так уверенный в истинности сообщения, что решился поставить у букмекеров 10 фунтов на то, что подтверждение Великой теоремы Ферма будет отыскано на протяжении семи дней. Но букмекеры сочли, что дело нечисто, и отказались принять заклад. Это был пятый студент, который обратился к ним с подобным предложением в тот сутки. Над поиском доказательства Великой теоремы Ферма лучшие умы бились в течении трех столетий, и сейчас кроме того букмекеры начали подозревать, что подтверждение скоро будет отыскано.
Три доски были исписанными, и лектор сделал перерыв. Текст с первой доски был стерт, и выкладки продолжились. Любая строка вычислений становилась маленькой ступенью, приближавшей к решению проблемы, но вот прошло тридцать мин., а лектор все еще не объявлял, что подтверждение завершено. Доктора наук, заполнившие первые последовательности, с нетерпением ожидали последней части лекции. Студенты, находившиеся позади, посматривали на учителей в надежде, что те посоветуют, каким может оказаться окончательный «решение суда». Присутствуют ли они при изложении полного доказательства Великой теоремы Ферма, либо лектор излагает только неспециализированную схему некоего неполного рассуждения, призванного разрядить общее напряженное ожидание настоящего доказательства.
Лектором был Эндрю Уайлс, сдержанный англичанин, эмигрировавший в 80-х годах в Америку и ставший доктором наук Принстонского университета, где он заслужил репутацию одного из наиболее одаренных математиков своего поколения. Сейчас Уайлс полностью провалился сквозь землю из семинаров и ежегодного круга конференций, и коллеги начали было думать, что Уайлс исчерпал свои возможности как математик. Выгореть дотла для молодых блестящих умов не такая уж уникальность. Как заметил великий математик Альфред Адлер, «математическая жизнь ученого-математика мала. По окончании того, как ему исполнится лет 25–30, его работа редко делается продуктивнее. В случае если к этому возрасту мало что сделано, то и позже удается свершить не большое количество».
«Юные люди должны обосновывать теоремы, пожилые — писать книги, — увидел Г.Г. Харди в своей книге «Апология математика». — Ни один великий математик не должен забывать о том, что математика в основном, чем какое-либо другое мастерство либо наука, — игра парней. В качестве несложного примера упомяну о том, что средний возраст избрания в Королевское общество ниже всего у математиков». Блестящий ученик самого Харди — Сриниваса Рамануджан стал участником Королевского общества в возрасте тридцати одного года, успев совершить в более юные годы последовательность важных открытий. Не обращая внимания на очень не сильный формальное образование, полученное им в родной деревне Кумбаконам в Южной Индии, Рамануджан сумел сформулировать теоремы и решить последовательность неприятностей, не поддававшихся упрочнениям математиков на Западе. В математике опыт, который приходит с возрастом, менее ответствен, чем смелость и интуиция, характерные молодости. В то время, когда Рамануджан представил Харди свои результаты, кембриджский доктор наук был так поражен, что внес предложение Рамануджану покинуть работу младшего клерка в Южной Индии и переехать в Тринити-колледж, где тот имел возможность бы общаться и взаимодействовать с некоторыми из самых выдающихся экспертов по теории чисел в мире. К сожалению, жёсткие зимы Восточной Англии были непосильным опробованием для Рамануджана. Он заболел туберкулезом и погиб в возрасте тридцати трех лет.
Много других математиков прожили столь же блестящую, но краткую жизнь в науке. В XIX веке норвежец Нильс Хенрик Абель внес свой величайший вклад в математику, в то время, когда ему исполнилось девятнадцать лет, и погиб в нищете восемью годами позднее кроме этого от туберкулеза. Шарль Эрмит заявил, что Абель «покинул математикам что-то такое, над чем им предстоит трудиться лет пятьсот», и не подлежит сомнению, что его открытия и поныне оказывают глубокое влияние на современную теорию чисел. Столь же одаренный современник Абеля Эварист Галуа сделал первостепенное открытие, будучи еще ребёнком, и погиб в возрасте двадцати одного года.
Приведенные мной примеры предназначены не чтобы читатель заключил, что математиков постигает смерть безвременная и ужасная. Я отмечу, что свои наиболее глубокие идеи математики выдвигают в молодости, и, как сообщил Харди, «я не знаю случая, в то время, когда бы важная математическая мысль была высказана человеком старше пятидесяти». Достигнув среднего возраста, математики довольно часто отходят на второй план и выполняют остаток своих дней, занимаясь преподаванием либо администрированием, но не математическими изучениями. С Эндрю Уайлсом дело обстоит совсем в противном случае. Не смотря на то, что он достиг почтенного сорокалетнего возраста, семь лет он работал над решением задачи в обстановке полной секретности, пробуя отыскать решение уникальной величайшей неприятности в истории математики. В то время, как коллеги Уайлса подозревали, что математический дар его безвозвратно иссяк, он фантастически быстро продвигался к поставленной цели, изобретая новые средства и методы, каковые сейчас вознамерился открыть математическому сообществу. Его решение работать над проблемой в полной изоляции было очень рискованной стратегией, неслыханной прежде в математическом мире.
Не владея изобретениями, требующими патентования, механикоматематический факультет любого университета сопряжен с секретностью в меньшей степени, чем каждый факультет. Сотрудники матфакультета наслаждаются открытым свободным обменом идей, в большинстве случаев на протяжении чаепитий, каковые превратились в ежедневные ритуалы. Как следствие, все большее число статей публикуется в соавторстве либо группами математиков, и слава делится на всех поровну. Но в случае если доктор наук Уайлс вправду нашёл полное и строгое подтверждение Великой теоремы Ферма, то наиболее высоко ценимая приз в математике в собственности ему, и лишь ему одному. Цена, которую он был должен уплатить за то, что вел свои изучения в тайне от сотрудников и ранее не обсуждал свои идеи и не контролировал их на математическом сообществе, заключалась в высокой возможности, что где-то в своих рассуждениях он допустил фундаментальную неточность.
По своему плану Уайлс собирался еще какое-то время поработать над проблемой Ферма, дабы всецело проверить окончательный вариант своей рукописи. Но ему представилась неповторимая возможность заявить о своем открытии в Университете сэра Исаака Ньютона, и Уайлс отбросил осторожность. Единственная цель существования этого Университета пребывает в том, дабы собирать совместно на пара недель самые выдающиеся умы мира и предоставлять им возможность проводить по своему усмотрению семинары по самым животрепещущим проблемам современной математики. Расположенное на задворках Кембриджского университета, далеко от разных помех и студентов, институтское здание спланировано и выстроено с таким расчетом, дабы создать математикам все условия, разрешающие сосредоточиться на обсуждаемой проблеме и предпринять мозговой штурм. В здания нет тупиков, в которых возможно было бы затаиться. Все кабинеты выходят на форум. Предполагалось, что математики по большей части будут планировать на форуме. Двери кабинетов рекомендуется держать открытыми. Передвигаясь по Университету, великий математик может не прерывать общения с сотрудниками. Доска висит кроме того в лифте, перемещающимся между тремя этажами. И по крайней мере одна доска имеется в каждой комнате, не кроме ванных. В тот раз, о котором идет обращение, в Университете Ньютона семинары шли называющиеся «L-арифметика и функции». Все наиболее выдающиеся эксперты мира по теории чисел собрались, дабы обсудить неприятности, связанные со столь высокоспециализированной областью чистой математики, но лишь Уайлс осознал, что L-функции имели возможность бы дать ключ к доказательству Великой теоремы Ферма.
И не смотря на то, что его весьма завлекала возможность поведать о своей работе столь выдающейся аудитории, все же главным, что вынудило его заявить о своем открытии в Университете Ньютона, было то, что он пребывал в своем родном городе — Кембридже. Тут Уайлс появился, вырос, тут взяла развитие его любовь к теории чисел, и как раз в Кембридже он в первый раз столкнулся с проблемой, которой посвятил свою оставшуюся жизнь.

Проблема Ферма

В 1963 году, в то время, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. «В школе я обожал решать задачи, я брал их к себе и из каждой задачи придумывал новые. Но лучшую из задач, каковые мне когда-либо попадались, я нашёл в местной библиотеке».

Эндрю Уайлс в возрасте десяти лет, в то время, когда он в первый раз определил о Великой теореме Ферма.

в один раз по дороге из школы к себе Эндрю Уайлс решил посмотреть в библиотеку на Милтон-роуд. Если сравнивать с библиотеками университетских колледжей эта библиотека была достаточно бедной, но выбор книг по занимательной математике в ней был богатым, и эти книги довольно часто завлекали внимание Эндрю. Их страницы были до отказа заполнены всякого рода задачами и научными курьёзами-головоломками, и на любой вопрос существовал готовый ответ, заботливо помещенный где-нибудь в конце книги. Но в этом случае Эндрю выудил книгу, в которой обращение шла только об одной-единственной задаче, и решение ее не приводилось.
Это была книга Эрика Темпла Белла «Великая неприятность» об истории одной математической задачи, корни которой уходят в Старую Грецию. Своего полного расцвета эта неприятность достигла в XVII веке. Как раз тогда великий французский великий математик Пьер де Ферма без умысла сформулировал ее так, что она стала вызовом всему остальному миру. Выдающиеся математики друг за другом принимались за наследие Ферма и были вынуждены смиренно признать, что оно выяснилось им не по силам. За триста лет никому не удалось решить эту проблему. Очевидно, в математике имеется много других нерешенных неприятностей, но неприятность Ферма занимает среди них особенное место своей обманчивой простотой. Тридцать лет спустя по окончании того, как он в первый раз прочёл книгу Белла, Уайлс поведал мне, что он почувствовал при первой встрече с Великой теоремой Ферма. «Она смотрелась таковой простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее. Передо мной была неприятность, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я ни при каких обстоятельствах не смогу отступиться от данной неприятности. Я должен был решить ее».
Неприятность смотрелась столь простой вследствие того что в базе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, выстроенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, выстроенных на катетах.
Именно поэтому пифагорову заклинанию, теорема запечатлелась в мозгу миллионов, если не миллиардов, людей. Это — фундаментальная теорема, заучивать которую заставляют каждого школьника. Но не обращая внимания на то, что теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних, она есть воодушевляющим началом неприятности, при решении которой потерпели фиаско величайшие умы в истории математики.
Пифагор с острова Самос был одной из наиболее влиятельных и однако таинственных фигур в математике. Потому, что точных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь была окутанной легендами и мифами, и историкам не редкость тяжело отделить факты от выдумки. Не подлежит сомнению, но, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа прекратили употребляться лишь для вычислений и счёта и были в первый раз оценены по преимуществу. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, каковые образуют числа. Пифагор осознал, что числа существуют независимо от материального мира, и исходя из этого на изучении чисел не отражается неточность наших органов эмоций. Это означало, что Пифагор получил возможность открывать истины, свободные от чьего-либо мнения либо предрассудка. Истины более полные, чем любое предыдущее знание.
Пифагор жил в V веке до н. э., умения и свои познания в математике он купил, странствуя по Старому Миру. По некоторым преданиям, Пифагор побывал в Британии и Индии, но, по более точным сведениям, он перенял многие средства и математические методы у египтян и вавилонян. И те, и другие древние народы вышли за пределы несложного счета и имели возможность делать сложные вычисления, разрешавшие им создавать узкие системы учета и возводить сложные здания. Действительно, математику они разглядывали только как средство решения практических неприятностей; обстоятельством открытий некоторых главных правил геометрии стала необходимость восстанавливать границы между земельными наделами, оказавшимися смытыми при ежегодных разливах Нила. Само слово геометрия свидетельствует «землемерие».
Пифагор обратил внимание на то, что вавилоняне и египтяне проводили каждое вычисление по рецепту, которому возможно было слепо направляться. Эти рецепты, апробированные не одним поколением, неизменно давали верное решение, и никому и в голову не приходило усомниться в них либо подвергнуть анализу логику, лежащую в их основе. Для египетской и вавилонской цивилизаций было принципиально важно, что вычисления «работают», а из-за чего они работают, не имеет значение.
По окончании двадцати лет странствий Пифагор собрал и усвоил все математические правила, существовавшие в цивилизованном мире, и отплыл на родину — остров Самос в Эгейском море — с целью основать школу, члены которой занимались бы изучением философии и в особенности изучением собранных им математических правил. Пифагор желал осознать числа, а не только вслепую пользоваться ими. Он сохранял надежду, что ему удастся отыскать достаточное количество вольно мыслящих учеников, каковые окажут помощь ему создать радикально новую философию, но за время его отсутствия тиран Поликрат перевоплотил некогда свободный Самос в нетерпимое консервативное общество. Поликрат пригласил Пифагора ко двору, но философ осознавал, что это был не более чем маневр с целью вынудить его замолчать, и под благовидным предлогом отклонил предложенную честь. Пифагор покинул город и поселился в пещере, расположенной в отдаленной части острова, где он имел возможность вольно предаваться размышлениям, не опасаясь преследований.
Пифагор был так одинок, что в итоге был должен подкупить парня, дабы тот дал согласие стать его учеником. Кем был данный парень, неизвестно, но кое-какие историки высказывают предположение, что его кроме этого кликали Пифагором и что позднее именно он прославился тем, что дал совет атлетам имеется мясо, дабы улучшить свои спортивные результаты. Пифагор-преподаватель платил своему ученику по три обола за любой урок, который тот посещал. По прошествии нескольких недель он увидел, что упорное нежелание юноши обучаться превратилось в любовь к знанию. Дабы испытать своего ученика, Пифагор сделал вид, что не в состоянии платить ему и что уроки нужно будет прекратить. В ответ ученик внес предложение сам оплачивать уроки, но просил покинуть колонию.
Пифагор отправился в южную Италию, бывшую тогда частью Древней Греции, и поселился в Кротоне, где ему посчастливилось отыскать совершенного покровителя в лице Мило, самого богатого человека в Кротоне и одного из сильнейших людей в истории. Не смотря на то, что слава Пифагора как мудреца с острова Самос распространилась по всей Греции, слава Мило была еще больше. Мило был сложен, как Геркулес, и двенадцать раз завоевывал титул чемпиона Олимпийских и Пифийских игр. Кроме занятий атлетикой Мило высоко ценил философию и математику и занимался их изучением. Он предоставил Пифагору достаточно солидную часть своего дома чтобы тот имел возможность основать школу. Так самый творчески мысливший разум и самое замечательное тело стали партнерами.
Ощущая себя в безопасности в своем новом доме, Пифагор основал пифагорейское братство — группу из шестисот последователей, талантливых не только осознать его учения, но и добавить к ним доказательства и новые идеи. Вступая в братство, любой последователь Пифагора должен был пожертвовать в неспециализированный фонд все свое состояние. Любой, кто покидал братство, приобретал сумму в два раза громадную, чем начальное пожертвование, и в память о нем воздвигалась надгробная плита. Пифагорейское братство было эгалитарной школой, и среди обучающихся были не только мужчины, но и пара дам. Любимой ученицей Пифагора была дочь Мило — красивая Теано. Не обращая внимания на громадную отличие в возрасте Пифагор и Теано в итоге поженились.
Практически сразу после основания братства Пифагор придумал слово «философ» и тем самым провозгласил цели школы. На протяжении Олимпийских игр Леон, правитель Флиуса, задал вопрос Пифагора, как бы тот охарактеризовал себя. Пифагор ответил: «Я философ», но Леону не приходилось прежде слышать этого слова, и он попросил Пифагора растолковать, что оно свидетельствует.
«Жизнь, правитель Леон, возможно уподобить происходящим на данный момент Олимпийским играм: в собравшейся тут огромной толпе одних завлекает выгода, которую они сохраняют надежду извлечь, других — надежды и честолюбивые планы, они сохраняют надежду получить известность и славу. Но имеется среди них мало и таких, кто пришел ко мне, дабы заметить и осознать все, что тут происходит.
То же самое относится и к жизни. Одни обуяны любовью к благосостоянию, другие слепо следуют безумной господства и лихорадочной жажде власти, но лучший из людей посвящает себя цели и познанию смысла самой жизни. Он пытается раскрыть тайны природы. Для того чтобы человека я именую философом, потому что не смотря на то, что ни один человек не имеет возможности постичь всю мудрость мира, он может обожать мудрость как ключ к тайнам природы».
Не смотря на то, что многие знали о намерениях Пифагора, никто за пределами братства не знал, чем как раз занимаются его ученики и Пифагор. Любой член школы приносил праздничную клятву ни при каких обстоятельствах, ни под каким видом, не разглашать посторонним математические открытия братства. Кроме того по окончании смерти Пифагора один из участников братства был утоплен за то, что он нарушил клятву, — публично заявил об открытии нового верного тела, додекаэдра, ограниченного двенадцатью верными пятиугольниками. Множество мифов о необычных ритуалах, совершавшихся участниками братства, и немногочисленность надежных сведений об их математических достижениях — следствие той доведенной до предела таинственности, которой окружали себя пифагорейцы.
Точно как мы знаем, что Пифагор установил этос, поменявший движение развития математики. По существу пифагорейское братство было религиозным сообществом, и одним из идолов, которым поклонялись пифагорейцы, было Число. Пифагорейцы полагали, что постигая соотношения между числами, они смогут раскрыть духовные тайны Вселенной и тем самым приблизиться к всевышним. Особенное внимание члены братства уделяли натуральным числам (1, 2, 3…) и дробям. Натуральные числа вместе с дробями (отношениями этих чисел) на языке опытных математиков принято именовать рациональными числами. Среди нескончаемого множества чисел пифагорейцы высматривали те, каковые имеют особенное значение. Среди важнейших для них чисел были так именуемые «идеальные» числа.
Согласно точки зрения Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, каковые делят без остатка исходное число). К примеру, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. В случае если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число именуется «избыточным». К примеру, 12 — избыточное число, поскольку сумма его делителей равна 16.
Иначе, в случае если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число именуется «недостаточным». К примеру, 10 — недостаточное число, поскольку сумма его делителей (1, 2 и 5) равна только 8.
Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно серьёзными. Такие числа они именовали идеальными. К примеру, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совсем, поскольку 1+2+3 = 6. Следующее идеальное число равняется 28, так как
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Идеальный темперамент чисел 6 и 28, имевший столь громадное математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот около Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Всевышний сотворил мир за 6 дней.
В произведении «Град Божий» Св. Августин высказал идея о том, что не смотря на то, что Всевышний имел возможность сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, чтобы поразмыслить над совершенством мира. Согласно точки зрения Св. Августина, число 6 совсем не вследствие того что Всевышний избрал его, а вследствие того что совершенство внутренне свойственно природе этого числа. «Число 6 совсем само по себе, а не вследствие того что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее напротив, Всевышний сотворил все сущее за 6 дней вследствие того что это число совсем. И оно оставалось бы идеальным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».
По мере того, как натуральные числа возрастают, идеальные числа видятся все реже. Третье идеальное число 496, четвертое — 8 128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056. Пифагор увидел, что идеальные числа не только равны сумме своих делителей, но и владеют некоторыми другими красивыми свойствами. К примеру, идеальные числа неизменно равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В действительности,
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.
Пифагор забавлялся идеальными числами, но не ограничивался одним только коллекционированием таких чисел. Он грезил открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий пребывало в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. именуются степенями числа 2 и смогут быть представлены в виде 2n, где n свидетельствует число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не добывают» до того, дабы стать идеальными, поскольку сумма их делителей неизменно на единицу меньше самого числа. В противном случае говоря, все степени двойки легко недостаточны:
22 = 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3,
23 = 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7,
24 = 2·2·2·2 = 16, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,
25 = 2·2·2·2·2 = 32, делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31.
Двумя столетиями спустя Евклид уточнил увиденную Пифагором связь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что идеальные числа неизменно кратны двум числам, одно из которых равняется степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:
6 = 21·(22 — 1),
28 = 22·(23 — 1),
496 = 24·(25 — 1),
8128 = 26·(27 — 1).
Современные компьютеры разрешили продолжить поиск идеальных чисел и найти чудовищно солидные экземпляры таких чисел, к примеру, 2216090·(2216091 — 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.
Пифагор восхищался свойствами и разнообразием структуры идеальных чисел и с почтением относился к их тонкости и коварству. На первый взгляд, совершенство — свойство, относительно простое для понимания. Однако, древние греки так и не сумели постичь кое-какие фундаментальные особенности идеальных чисел. Так, не смотря на то, что они знали множество легко недостаточных чисел (т. е. чисел сумма делителей которых на единицу меньше самого числа), им не удалось отыскать легко избыточное число (т. е. число сумма делителей которого на единицу больше самого числа). Они не сумели кроме этого доказать, что таких чисел не существует.
Не смотря на то, что никакого практического значения эта задача не имела, ее решение имело возможность бы прояснить природу идеальных чисел, и исходя из этого она заслуживала изучения. Для того чтобы рода загадки интриговали пифагорейское братство, и спустя две с половиной тысячи лет математики все еще не смогут доказать, что легко избыточные числа не существуют.

Всё сущее есть число

Кроме изучения соотношений между числами Пифагора интересовала связь между природой и числами. Он осознавал, что природные явления подчиняются законам, а эти законы описываются математическими соотношениями. Одним из первых открытий Пифагора стало фундаментальное соотношение между гармонией в музыке и гармонией чисел.
Самым серьёзным инструментом в древнегреческой музыке был тетрахорд, либо четырехструнная лира. И до Пифагора музыканты ценили те ноты, каковые при совместном звучании создавали приятный эффект, и настраивали свои лиры так, дабы при пощипывании двух струн появлялась гармония. Но музыканты не осознавали, из-за чего те либо иные сочетания нот гармоничны, и не владели объективной системой для настройки своих инструментов. Лиры они настраивали лишь по слуху, пока не устанавливалось гармоническое звучание струн, — посредством процесса, который Платон именовал пыткой настроечных колков.
Ямвлих, ученый, живший в четвертом веке и написавший девять книг о пифагорейском братстве, говорит о том, как Пифагор пришел к открытию правил, лежащих в базе музыкальной гармонии.
«в один раз Пифагор был глубоко загружён в размышления о том, как бы изобрести механическое устройство для слуха, которое было бы надежным и незамысловатым. Такое устройство было бы подобно циркулям, оптическим инструментам и линейкам, измышленным для зрения… Божественная успех распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотков о железо, создававших во всех комбинациях, не считая одной, разнообразные гармонические звуки».
Как говорит потом Ямвлих, Пифагор, сгорая от нетерпения, вбежал в кузницу, дабы узнать, как появляется гармония молотов. Он увидел, что большая часть молотов, в случае если ими ударить в один момент, порождают гармоническое звучание, но одна комбинация молотов постоянно порождала неприятное звучание. Рассмотрев хорошенько молоты, Пифагор осознал, что те, каковые издавали гармоническое звучание, пребывали в несложном математическом отношении: их массы образовывали между собой простые отношения, либо дроби. В противном случае говоря, молоты, вес которых образовывает половину, две трети либо три четверти веса какого-либо определенного веса, порождают гармонические звучания. Иначе, молот, порождающий дисгармонию (в случае если ударить им в один момент с любым из других молотов), имеет вес, не образующий несложного отношения с весом любого из других молотов.
Пифагор открыл, что простые отношения чисел несут ответственность за гармонию в музыке. Ученые усомнились в правдивости истории, поведанной Ямвлихом о Пифагоре. Более точно как мы знаем, что Пифагор применил свою новую теорию музыкальных взаимоотношений к лире, разглядывая свойства одной струны. В случае если струну, то появляется стандартная нота, либо тон, который создается всей длиной колеблющейся струны. Зажав струну в определенных точках, возможно породить тоны и другие колебания, как продемонстрировано на рис. 1. Принципиально важно то, что гармонические тона появляются лишь при зажиме струны в определенных точках.
К примеру, зажав струну совершенно верно посередине и после этого ущипнув ее, мы возьмём тон октавой выше в гармоническом созвучии с начальном тоном. В случае если струну зажать на расстоянии одной трети, четверти либо пятой длины от конца, то окажутся другие гармонические тона. Но стоит зажать струну в точке, отстоящей от конца на расстоянии, не образующем несложную дробь с длиной струны, как издаваемый струной звук не будет соответствовать с другими тонами.

Рис. 1. Вольно колеблющаяся открытая струна издает основной тон. В случае если совершенно верно посредине струны создать узел колебания, то издаваемая струной нота станет на октаву выше и будет соответствовать с исходной нотой. Другие гармоники мы возьмём, перемещая узел в другие положения, соответствующие несложным дробям (к примеру, трети, четвертой либо пятой части) от полной длины струны

Пифагор в первый раз открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и продемонстрировал тем самым, что между физикой и математикой существует фундаментальная связь. Со времени этого открытия ученые стали заниматься поиском математических правил, которым, “Наверное,” подчиняется любой физический процесс в отдельности, и поняли, что числа появляются во всех явлениях природы.
К примеру, некоторое число входит в закономерность, которой подчиняются длины рек. Доктор наук Ханс-Хенрик Стоун, эксперт по физике Земли из Кембриджского университета, вычислил отношение между подлинной длиной реки от истока до устья и расстоянием «по прямой», как имела возможность бы лететь птица. И не смотря на то, что это отношение варьируется от реки к реке, его среднее значение только немногим больше 3, т. е. подлинная протяженность реки приблизительно в 3 раза больше расстояния от источников до устья по прямой.
етрии окружностей, но появляется опять и опять при самых разных событиях во многих разделах науки.
осом. Эйнштейн первым высказал предположение о том, что реки имеют тенденцию ко все более извилистому руслу, поскольку мельчайшее искривление русла ведет к ускорению течения у «наружного» берега, что со своей стороны ведет к увеличению эрозии крутизны и ускорению берега поворота. Чем круче поворот, тем стремительнее течение у «наружного» берега; чем стремительнее течение, тем посильнее эрозия; чем посильнее эрозия, тем круче поворот реки, и т. д.
Но, существует в природе процесс, который укрощает хаос: повышение извилистости русла ведет к появлению петель и, наконец, к «маленькому замыканию» русла: река спрямляет русло, а замкнутая петля, оставшаяся в стороне от русла, делается старицей. Баланс между этими двумя противоположными факторами ведет к близкому нинам с весьма не сильный уклоном. Таковы, к примеру, Сибири и реки Бразилии.
Пифагор осознал, что везде, от гармонии в музыке до планетных орбит, скрыты числа, и это открытие разрешило ему сформулировать афоризм: «Все сущее имеется Число». Постигая значение и смысл математики, Пифагор разрабатывал язык, который разрешил бы и ему самому, и другим обрисовывать природу Вселенной. С того времени каждое значительное продвижение в математике давало ученым словарь, нужный для лучшего объяснения явлений в окружающем мире. Не будет преувеличением заявить, что удачи математики порождали коренные сдвиги в естествознании.
Исаак Ньютон был не только открывателем закона всемирного тяготения, но и выдающимся математиком. Его величайшим вкладом в математику стало создание матанализа — дифференциального и интегрального исчисления. Позднее физики применяли язык матанализа для более правильного описания закона решения задач и всемирного тяготения, которые связаны с гравитацией. Созданная Ньютоном классическая теория гравитации пережила века и уступила место общей теории относительности Альберта Эйнштейна, давшего новое, более подробное объяснение гравитации. Идеи самого Эйнштейна стали вероятными лишь благодаря новым математическим понятиям, разрешившим ему развить более изощренный язык для своих более сложных (если сравнивать с ньютоновскими) научных идей. Современная интерпретация гравитации кроме этого стала вероятной под влиянием последних достижений математики. Новейшие квантовые теории гравитации связаны с удачами математической теории струн, в которой геометрические и топологические свойства трубок наилучшим образом растолковывают силы природы.
Из всех связей между природой и числами, изученных участниками пифагорейского братства, наиболее ответственным стало соотношение, которое сейчас носит имя основателя братства. Теорема Пифагора дает нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. Со своей стороны, прямой угол определяет перпендикуляр, т. е. отношение вертикали к горизонтали, а в конечном итоге — отношение между тремя измерениями нашего мира. Математика — через прямой угол — определяет самую структуру пространства, в котором мы живем. Это весьма глубокая идея.
В это же время, формулировка теоремы Пифагора относительно несложна. Вправду, чтобы выяснить ее, необходимо в первую очередь измерить длину двух более маленьких сторон (x и y), — так называемых катетов, — прямоугольного треугольника, и каждую из взятых длин возвести в квадрат (x2 и y2). После этого необходимо сложить квадраты длин (x2 + y2). Для треугольника, изображенного на рис. 2, сумма равна 25.

x = 3, y = 4, z = 5

x2 + y2 = z2

9 + 16 = 25

Рис. 2

Сейчас вы имеете возможность измерить длину солиднейшей стороны z — так называемой гипотенузы — и возвести полученное число в квадрат. Самое превосходное содержится в том, что число z2 сходится с вычисленной вами ранее суммой, т. е. 52 = 25. В противном случае говоря, в любом прямоугольном треугольнике квадрат, выстроенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, выстроенных на катетах.
Иными словами (правильнее, знаками), теорема Пифагора говорит, что

x2 + y2 = z2

Ясно, что это соотношение выполняется для треугольника на рис. 2, но сущность теоремы Пифагора в том, что это равенство остается в силе для любого прямоугольного треугольника, какой вы лишь имеете возможность себе представить. Это — универсальный закон математики, и вы имеете возможность положиться на него всегда, в то время, когда вам доведется встретить треугольник, содержащий прямой угол. И обратно, стоит вам встретить треугольник, удовлетворяющий теореме Пифагора, как вы имеете возможность быть полностью уверенными в том, что перед вами прямоугольный треугольник.
Уместно подметить, что, не смотря на то, что теорема, о которой идет обращение, навсегда связана с именем Пифагора, вавилоняне и китайцы применяли ее на тысячу лет раньше. Но ни китайские, ни вавилонские геометры не знали, что эта теорема выполняется для любого прямоугольного треугольника. Теорема, взявшая потом наименование теоремы Пифагора, была верной для любого прямоугольника, на котором вавилоняне и китайцы имели возможность ее проверить, но они не знали, как продемонстрировать, что она будет честна для всех тех прямоугольных треугольников, каковые они не подвергли проверке. Обстоятельство, по которой теорему нарекли теоремой Пифагора, содержится в том, что именно он доказал ее универсальную истинность.
Но как именно Пифагор выяснил, что его теорема верна для любого прямоугольного треугольника? Он не имел возможности сохранять надежду на то, что ему удастся проверить вечно большое количество разнообразнейших прямоугольных треугольников, и однако Пифагор сумел получить уверенность «абсолютно процентов» в том, что его теорема — безотносительная истина. Обстоятельство его уверенности — в понятии математического доказательства. Поиск математического доказательства — это поиск знания, более правильного, чем знание, накопленное какой-нибудь другой научной дисциплиной. Жажда постичь безотносительную истину посредством способа доказательства двигала математиками в течении двух с половиной тысяч лет.

Абсолютное доказательство

История Великой теоремы Ферма — это история поиска недостающего доказательства. Математическое подтверждение значительно замечательнее и строже, чем представление о доказательстве, которым мы пользуемся в нашем повседневном языке, а также чем то представление о доказательстве, которого придерживаются физики либо химики. Познание различия между естественнонаучным и математическим доказательствами имеет решающее значение для осознания того, чем занимается любой великий математик со времен Пифагора.
Классическое математическое подтверждение начинается с серии аксиом — утверждений, каковые возможно предположить подлинными либо истинность которых самоочевидна. После этого посредством логических рассуждений, ход за шагом, возможно прийти к заключению. В случае если аксиомы подлинны, а логика безукоризненна, то заключение безупречно. Этим заключением и есть теорема.
Математические теоремы опираются на таковой логический процесс и, доказанные в один раз, они остаются подлинными до скончания столетий. Математические доказательства полны. Дабы по преимуществу оценить значительность полных доказательств, их направляться сравнить с их «бедным родственником» — естественнонаучным доказательством, принятым, к примеру, в физике.
В физике догадка выдвигается для объяснения какого-нибудь физического явления. В случае если наблюдения за явлением прекрасно согласуются с догадкой, то это свидетельствует в ее пользу, либо, как принято сказать, подкрепляет выдвинутую догадку. Помимо этого, догадка обязана не только обрисовывать узнаваемые процессы, но и предвещать финал других процессов.
Для проверки предсказательной силы догадки смогут проводиться опыты, и если они выясняются успешными, то это еще посильнее подкрепляет догадку. В итоге, количество данных, говорящих в пользу догадки, может оказаться большим, и догадку принимают в качестве физической теории.
Но физическая теория ни при каких обстоятельствах не может быть доказана на уровне, столь же безотносительном, как тот, на котором принято обосновывать математические теоремы: на базе имеющихся данных физическую теорию можно считать обоснованной только с большей либо меньшей возможностью. Так именуемое физическое, либо, более общо, естественнонаучное подтверждение, основано на наблюдениях и данных, доставляемых нашими органами эмоций. И те, и другие обманчивы и дают только приближение к истине. Как заметил Бертран Рассел: «Не смотря на то, что это может показаться парадоксом, все правильные науки пронизаны идеей приближения».
Кроме того наиболее обширно признанные естественнонаучные «доказательства» неизменно содержат в себе небольшой элемент сомнения. Время от времени сомнение делается меньше; но оно ни при каких обстоятельствах не исчезает всецело. Время от времени узнается, что предложенное подтверждение неверно. Слабость физического доказательства ведет к научным революциям, на протяжении которых на смену одной теории, считавшейся «верной» приходит другая теория, которая возможно всего лишь уточнением прежней теории, быть может всецело противоречить ей.
К примеру, в поиске фундаментальных частиц материи каждое поколение физиков «перепахивало» либо, по крайней мере, уточняло и усовершенствовало теорию своих предшественников. Современный этап поиска небольших «кирпичиков», из которых выстроена Вселенная, начался в первые годы XIX века, в то время, когда в следствии серии опытов Джон Дальтон пришел к догадке о том, что все в мире складывается из отдельных атомов и что эти атомы — небольшие частицы материи.
В конце XIX века Дж. Дж. Томсон открыл электрон — первую известную субатомную частицу, и атом прекратил быть небольшой частицей материи.
В начале XX века физики выстроили «полную» теорию атома: около ядра, складывающегося из нейронов и протонов, обращаются электроны. Протоны, электроны и нейроны были горделиво провозглашены физиками полным комплектом ингредиентов, из которых состоит Вселенная. После этого анализ космических лучей нашёл существование других мюонов частиц — и элементарных пионов. Еще больший переворот в физике случился в 1932 году, в то время, когда было открыто антивещество — существование антипротонов, антинейтронов, антиэлектронов и т. д. К тому времени физики, занимавшиеся изучением элементарных частиц, не могли с уверенностью сообщить, сколько существует разных частиц, но по крайней мере утверждали, что найденные частицы вправду элементарны, т. е. неделимы. Так длилось до 60-х годов, в то время, когда показалось понятие кварка. Протон, так же, как нейтрон, мюон и пион, был складывающимся из кварков, несущих заряд, равный дробной части заряда электрона. Мораль всей данной истории в том, что физики без конца меняют свою картину мира, а время от времени кроме того стирают ее совсем и начинают рисовать сначала. В следующем десятилетии самое представление о частице как о точечном объекте может претерпеть замену на представление о частицах как о струнах — тех самых струнах, каковые, быть может, послужат наилучшему объяснению гравитации. В соответствии с теории струн, трубки длиной в одну миллиардную миллиардной миллиардной миллиардной метра (такие мелкие, что они кажутся точками) смогут выполнять разные колебания, и каждое такое колебание порождает определенную частицу. Такое представление подобно открытию Пифагора, нашедшего, что одна струна лиры может порождать разные ноты в зависимости от того, как она колеблется.
Писатель-фантаст и футуролог Артур Кларк писал, что в случае если какой-нибудь известный доктор наук утверждает, словно бы что-то без сомнений истинно, то очень возможно, что на следующий сутки это что-то окажется фальшивым. Физическое подтверждение ненадежно и шатко. Одновременно с этим математическое подтверждение полностью и лишено и тени сомненья. Пифагор погиб в полной уверенности, что его теорема, бывшая истиной в 500 году до н. э., останется подлинной навсегда.
Физика живет, как будто бы подчиняясь решению суда. Теория считается верной, в случае если имеется достаточное количество данных, «неопровержимо» подтверждающих ее предсказания. Иное дело — математика. Она не надеется на данные, полученные в следствии могущих оказаться ошибочными опытов, а сооружает свои заключения на базе «металлической», т. е. не знающей неточностей, логики. Примером различия между физическим и математическим подходом может служить задача о шахматной доске с выпиленными угловыми полями (рис. 3).

Рис. 3

Перед нами шахматная доска, от которой два противоположных угловых поля отпилили так, что осталось лишь 62 поля. Заберём 31 кость домино таких размеров, что любая кость накрывает ровно два шахматных поля. Вопрос: возможно ли разложить 31 кость домино на шахматной доске так, что все 62 поля окажутся покрытыми домино? К решению задачи существуют два подхода.

Физический подход

Физик пробует решить задачу экспериментально и, перепробовав с дюжину разных вариантов размещения домино на шахматной доске обнаруживает, что все они заканчиваются неудачей.
В итоге физик приходит к убеждению, что в его распоряжении достаточно данных, разрешающих утверждать, что покрыть шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями нереально. Но физик не может быть до конца не сомневается в том, что это вправду так, по причине того, что может найтись некоторое размещение домино на шахматной доске, которое не было им экспериментально найдено, но как раз оно и дает решение задачи. Разных же вариантов размещения домино существует несколько миллион, и экспериментально проверить неизменно возможно только малую их толику. Что же касается заключения задачи, то это — теория, основанная на опыте, и физику не остается ничего другого, как жить на грани, что в один «красивый» сутки эта теория может оказаться отвергнутой.

Математический подход

Математик пытается решить задачу, выстраивая цепочку логических аргументов, приводящую к заключению, вне всяких сомнений верному и остающемуся безукоризненным навсегда. Одна из таких цепочек логических аргументов выглядит следующим образом.
– Оба угловых поля, выпиленные из доски, — белые. Следовательно на доске остались 32 тёмных поля и лишь 30 белых поля.
– Каждое домино покрывает два смежных поля, а смежные поля постоянно отличаются по цвету, т. е. одно поле тёмное, а другое — белое.
– Следовательно, независимо от размещения домино на шахматной доске, первые 30 костей, выложенных на доску, должны покрыть 30 белых и 30 тёмных полей.
– Это указывает, что при любом раскладе постоянно останется одна домино и два непокрытых тёмных поля.
– Но каждая кость домино покрывает на шахматной доске два смежных поля, а смежные поля постоянно отличаются по цвету. Два оставшихся непокрытыми поля одного цвета, и исходя из этого накрыть их одной костью домино нереально. Следовательно, покрыть эту доску 31 костью домино нереально!
Приведенное выше подтверждение говорит о том, что шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями нереально покрыть домино при любом размещении костей. Подобным образом, Пифагор создал подтверждение, которое показывает, что любой прямоугольный треугольник удовлетворяет его теореме. Для Пифагора понятие математического доказательства было священным, и как раз математическое подтверждение разрешило пифагорейскому братству открыть так много. Большая часть современных доказательств поразительно сложны, и разобраться в них неспециалисту просто не по силам. При теоремы Пифагора движение рассуждений, к счастью, достаточно несложен и опирается лишь на математику, которую изучают в школе . Подтверждение теоремы Пифагора изложено в Приложении 1.
Подтверждение Пифагора неопровержимо. Оно говорит о том, что теорема Пифагора выполняется для любого прямоугольного треугольника во Вселенной. Открытие это так потрясло Пифагора, что он в признательность принес в жертву всевышним сто быков. [1] Оно стало вехой в развитии математики и одним из самых серьёзных прорывов в истории цивилизации. Значение этого открытия было двояким.
Во-первых, оно разрешило сформулировать представление о том, что такое подтверждение. Доказанный математический итог владеет более глубокой истинностью, чем каждая другая истина, потому, что взят ход за шагом посредством логических рассуждений. Не смотря на то, что философ Фалес Милетский еще до работ Пифагора применял пара несложных геометрических доказательств, Пифагор развил идею математического доказательства значительно дальше и сумел доказать более хитроумные математические утверждения.
Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает связь между абстрактным математическим способом и чем-то осязаемым. Пифагор продемонстрировал, что математическая истина приложима к физическому миру и помогает его логическим основанием. Математика дает физике строгое начало, а после этого, к этому незыблемому основанию физики добавляются измерения и наблюдения, отягощенные неточностями.

Бесконечное количество пифагоровых троек

Пифагорейцы своим страстным поиском истины посредством доказательства вдохнули в математику живительную силу. Вести о достигнутых ими удачах распространились по всему Старому Миру, не смотря на то, что подробности своих открытий пифагорейцы хранили в строгой тайне. От желающих пробраться в святилище знания не было отбоя, но лишь самые блестящие умы имели возможность рассчитывать на прием в братство. Один из тех, кому ответили отказом, был кандидат по имени Силон. Он затаил обиду на унизительный отказ и спустя два десятилетия забрал реванш.
На протяжении шестьдесят седьмой Олимпиады (510 год до н. э.) в соседнем городе Сибарисе случилось восстание. Телис, победоносный фаворит восстания, начал варварскую кампанию преследования приверженцев прошлого правительства, которая вынудила многих из них искать убежища в Кротоне. Телис “настойчиво попросил”, дабы предателей вернули в Сибарис, дабы те были заслужено наказаны, но по призыву Мило и Пифагора обитатели Кротона выступили против тирана в защиту беглецов. Телис разозлился и, быстро собрав армию численностью в 300000 солдат, отправился маршем на Кротон, оборону которого возглавил Мило, собравший под своим началом 100000 вооруженных горожан. На семидесятый сутки войны защитники Кротона под предводительством Мило одержали победу. В качестве возмездия Мило приказал развернуть воды реки Кратис так, дабы они затопили Сибарис и уничтожили город.
Война окончилась, но Кротон бурлил: обитатели спорили о том, как по совести поделить военные трофеи. Опасаясь, что земли достанутся пифагорейской элите, рядовые обитатели Кротона начали ворчать. Недовольство все более возрастало, поскольку пифагорейское братство удерживало в тайне свои открытия, но никаких действий обитатели Кротона не предпринимали , пока в дело не вмешался Силон. Сыграв на страхах, зависти и умопомешательстве толпы, Силон возглавил ее и повел, дабы уничтожить самую блестящую математическую школу, которую когда-либо знал мир. Дом Мило и соседняя школа были окружены. Все двери были закрыты и забаррикадированы, дабы те, кто находились внутри, не могли спастись, а после этого оба здания были подожжены. Мило сумел вырваться из ада и убежать, а Пифагор совместно со своими бессчётными учениками был убит.
Математика утратила своего первого героя, но пифагорейский дух не был сокрушен. математические истины и Числа бессмертны. Пифагор продемонстрировал, что математика в основном, чем какая-нибудь другая научная дисциплина, лишена субъективности. Его последователям и ученикам не был нужен преподаватель, дабы решить, верна ли та либо другая теория. Истинность математической теории не зависит от чьего бы то ни было мнения. Арбитром вместо мнения стала логичность математической конструкции. Величайшим вкладом Пифагора в цивилизацию стал метод достижения истины, не подвластный ошибочности человеческого суждения. По окончании смерти и нападения Силона своего отца-основателя, пифагорейцы покинули Кротон и разбрелись по другим городам Древней Греции.
Но преследования длились, и в итоге многие пифагорейцы были вынуждены поселиться на чужбине. Вынужденная эмиграция содействовала тому, что пифагорейцы распространили свое математическое учение по всему Старому Миру. последователи и Ученики Пифагора основали новые школы и научили своих учеников способу логического доказательства. Кроме известного им доказательства теоремы Пифагора они поведали миру секрет нахождения так называемых пифагоровых троек.
Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x2 + y2 = z2. К примеру, соотношение Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:
З2 + 42 = 52, 9 + 16 = 25
+

=

З2 + 42 = 52

9 + 16 = 25

Рис. 4

Пифагорейцы грезили отыскать и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых возможно было бы сложить третий квадрат громадных размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:
52 + 122 = 132, 15 + 144 = 169.
Приведем пифагорову тройку из солидных чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки видятся все реже и обнаружить их делается все тяжелее и тяжелее. Пифагорейцы изобрели способ отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует вечно большое количество.

От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма

О теореме Пифагора и нескончаемом числе пифагоровых троек шла обращение в книге Э.Т. Белла «Великая неприятность» — той самой библиотечной книге, которая привлекла интерес Эндрю Уайлса. И не смотря на то, что пифагорейцы достигли практически полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро понял, что у невинного на первый взгляд уравнения x2 + y2 = z2 имеется и чёрная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.
В уравнение Пифагора входят три числа x, y и z, все три числа входят в квадрате (к примеру, x2 = x·x):

x2 + y2 = z2

Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, весьма похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (к примеру, x3 = x·x·x). Так называемая степень переменной x в этом уравнении равна не 2, а 3:

x3 + y3 = z3

Отыскать целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было относительно легко, но стоит только степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, делается неосуществимым. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде отыскать решение уравнения в целых числах.
При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, дабы они образовывали третий квадрат более больших размеров. При решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более больших размеров. Ясно, что независимо от того, какие конкретно два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков возможно сложить или третий куб, причем пара кубиков останутся «лишними», или неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к совершенному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним либо окажется недостающим. К примеру, в случае если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).

+

=

63 + 83 = 93 – 1

216 + 512 = 729 – 1

Рис. 5

Отыскать три целых числа, каковые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по-видимому, нереально. В противном случае говоря, по-видимому, у уравнения

x3 + y3 = z3

не существует целочисленных решений. Более того, в случае если степень повысить с 3 (куба) до любого большего целого числа (т. е. до 4, 5, 6…), то отыскать целочисленное решение для того чтобы уравнения, по-видимому, кроме этого нереально. В противном случае говоря, у более неспециализированного уравнения

xn + yn = zn,

где n ения приобретаем задачу умопомрачительной сложности. Великий великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал необычное заключение: он утверждал, что знает, из-за чего никому не получалось отыскать решение неспециализированного уравнения в целых числах. Он утвержает, что обстоятельство заключалась в том, что для того чтобы решения не существует.
Ферма был одним из наиболее блестящих и таинственных математиков в истории. Как и каждый другой, он не имел возможности проверить вечно большое количество чисел, но был полностью не сомневается в том, что не существует тройки целых чисел, которая удовлетворяла бы неспециализированному уравнению, поскольку его уверенность опиралась на подтверждение. Подобно Пифагору, которому вовсе не требовалось проверить все мыслимые треугольники, дабы убедиться в правильности своей теоремы, у Ферма не было необходимости перепробовать все мыслимые тройки целых чисел, дабы убедиться в справедливости его теоремы.
Прочтя всю книгу Э.Т. Белла от корки до корки, Уайлс выяснил, как Ферма был восхищен ее доказательством и теоремой Пифагора, и как сам неспешно увлекся изучением «сломанного» уравнения Пифагора. Прочтя о том, как Ферма провозгласил, что кроме того в случае если математики всей земли израсходуют целую вечность, дабы отыскать решение уравнения, носящего сейчас его имя, в целых числах, то и тогда им не удастся отыскать ни одного решения. Уайлс в нетерпении перевернул пара страниц, предвкушая наслаждение от разбора доказательства Великой теоремы Ферма, но тщетно: доказательства не было. Не было его не только в книге Э.Т. Белла, но и нигде. В конце книги говорилось, что отысканное Ферма подтверждение в далеком прошлом утеряно. Никаких указаний, намеков либо предположений относительно того, как возможно было бы вернуть подтверждение либо выстроить его заново не было. Уайлс был заинтригован, разъярен и озадачен. По крайней мере, он пребывал в хорошей компании.
Более 300 лет многие из наибольших математиков пробовали снова открыть утерянное подтверждение Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения новое поколение испытывало все решимость и большее разочарование. В 1742 году, практически через сто лет по окончании смерти Ферма, швейцарский великий математик Леонард Эйлер обратился к своему приятелю Клеро прося поискать в доме Ферма, не осталось ли где-нибудь клочка бумаги с крайне важным фрагментом доказательства. Но никому ни при каких обстоятельствах не удалось отыскать ни мельчайшего намека относительно того, каким могло быть подтверждение Ферма. В гл. 2 мы определим более детально о таинственной фигуре Пьера де Ферма, и о том, как было утеряно подтверждение. А пока мы ограничимся только тем, что скажем: Великая теорема Ферма, неприятность, над решением которой математики разламывали головы в течении столетий, захватила воображение юного Эндрю Уайлса.
Десятилетний мальчик в библиотеке на Милтон-роуд не имел возможности оторвать взора от самой известной неприятности математики. В большинстве случаев при решении математической задачи осознать уравнение свидетельствует половину дела. Но формулировка теоремы Ферма весьма несложна: требуется доказать, что уравнение xn + yn = zn не имеет решения в целых числах при n больше 2. Эндрю не смущало, что самые блестящие умы на Земле потерпели фиаско, пробуя заново открыть подтверждение Ферма. Уайлс срочно принялся за работу, пробуя посредством всей премудрости, которую он лишь имел возможность извлечь из книжек математики, вернуть потерянное подтверждение. А ну как ему удастся сделать то, что не удалось никому, не считая Ферма? Найти то, что все проглядели? Уайлс грезил потрясти мир.
И через три десятилетия Эндрю Уайлсу вправду удалось осуществить задуманное. В аудитории Университета сэра Исаака Ньютона он, покрыв всю доску вычислениями и с большим трудом сдерживая торжество, обернулся лицом к аудитории. Его лекция достигла кульминации, и аудитория сознавала, что наступил великий момент. Один либо двое из находившихся тайком пронесли на лекцию фотоаппараты, и последние замечания Уайлса сопровождались вспышками броского света.
Держа мел в руке, Уайлс в последний раз повернулся к доске. Последние пара строчков, и подтверждение завершено. В первый раз за триста лет вызов, кинутый Ферма, взял хороший ответ. Еще пара камер под блеск вспышек запечатлели исторический момент. Уайлс написал формулировку Великой теоремы Ферма, повернулся к аудитории и сообщил: «Думаю, мне направляться на этом остановиться».

23 июня 1993 года Уайлс выступил с лекцией в Университете сэра Исаака Ньютона в Кембридже. На снимке вы видите Уайлса через мгновенье по окончании того, как он заявил о отысканном им доказательстве Великой теоремы Ферма

Двести математиков быстро встали в едином порыве и зааплодировали. Аплодировали все, кроме того те, кто встретил весть о взятом результате кривой ухмылкой недоверия. Так три десятилетия спустя Уайлс поверил в то, что ему удалось осуществить свою мечту, и по окончании семи лет работы в полной изоляции решился опубликовать итоги своих тайных вычислений. Но пока радость переполняла собравшихся в Университете Ньютона, катастрофа уже готовься разразиться. И Уайлс, радуясь совместно со всеми, кто собрался в аудитории, еще не знал о тех злоключениях, каковые не замедлили скоро последовать.

Глава 2. Создатель Великой проблемы

Знаете, — признался дьявол, — даже самые лучшие математики на других планетах, а они, должен вам сказать, намного опередили ваших, не решили ее.
Взять хотя бы того парня на Сатурне, что очень похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так даже он не справился с этой задачей.
А. Порджес. Дьявол и Саймон Флэгг

Пьер де Ферма появился 20 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань в юго-западной части Франции. Его папа, Доминик Ферма, был состоятельным торговцем кожей, исходя из этого Пьер имел радостную возможность взять респектабельное образование во французском монастыре Грансельва, а после этого, в течение некоторого времени обучаться в университете Тулузы. Не сохранилось никаких документов, свидетельствующих о том, что юный Ферма показал блестящие способности к математике.
Под давлением семьи Ферма поступил на гражданскую работу и в 1631 году был назначен советником парламента Тулузы (conseiller au Parlement de Toulouse) — заведующим отдела прошений. В случае если местные обитатели желали подать петицию королю по любому вопросу, то сперва им было необходимо убедить Ферма и его сотрудников в важности обстоятельств, вынуждающих подавать петицию. Советники осуществляли живую связь между Парижем и провинцией. Кроме этого они были обязаны смотреть за тем, дабы в провинциях исполнялись королевские указы, издававшиеся в столице. Ферма плодотворно трудился на своем посту и, если судить по всем отзывам, делал свои обязанности прилежно, а к просителям относился доброжелательно.
Помимо этого, в обязанности Ферма входил разбор судебных дел. Он занимал высокий пост чтобы ему поручали ведение наиболее важных дел. Оценку его деятельности мы находим в записках британского математика Кенельма Дигби, которому пригодилось по некоторому делу посетить Ферма. В письме к их неспециализированному коллеге — Джону Валлису — Дигби информирует, что их французский сотрудник очень занят неотложными судебными делами, и намеченная встреча не представляется вероятной.
«Действительно, — пишет Дигби, — меня угораздило прибыть как раз в тот сутки, в то время, когда судьи из Кастра планируют в Тулузе, где он [Ферма] выполняет обязанности Главного судьи Суверенного суда парламента, и с того времени он занят самыми большими делами огромной важности. Слушание одного из дел завершилось вынесением Ферма решения суда, который наделал большое количество шума. Обращение шла об осуждении священника, дурно выполнявшего свои обязанности и приговоренного к сожжению на эшафоте. Тем дело и закончилось. Решение суда был приведен в выполнение».
Ферма систематично переписывался с Дигби и Валлисом. Как мы заметим потом, эти письма довольно часто были достаточно сухими, но они разрешают посмотреть в повседневную жизнь Ферма, в том числе и в его математические изыскания.
Ферма быстро продвигался по ступеням служебной лестницы и вошел в круг знати, о чем свидетельствует маленькая частица «де», показавшаяся перед его именем: Пьер де Ферма. Успешная карьера Ферма связана не столько с его честолюбивыми устремлениями, сколько с его здоровьем. В то время в Европе свирепствовала чума, и те, кто выживал, поднимались по служебной лестнице, занимая места погибших. В 1652 году настал черед и самого Ферма: он также заболел чумой и был так нехорош, что его приятель Бернар Медон кроме того известил нескольких сотрудников о смерти Ферма. Но скоро Медон исправил свою неточность в письме к голландцу Николасу Хайнсиусу: «Ранее я сказал Вам о смерти Ферма. Но он все еще жив, и мы более не опасаемся его смерти, не смотря на то, что еще совсем сравнительно не так давно считали его среди мертвых. Чума более не свирепствует между нами».
Кроме риска, которому во Франции XVII века подвергалось его здоровье, Ферма было нужно выживать в условиях политических опасностей. Его назначение в парламент Тулузы последовало ровно через три года по окончании того, как кардинал Ришелье стал премьером Франции. Это был век интриг и заговоров, и любой, кто был вовлечен в управление страной кроме того на провинциальном уровне, должен был с особенной осторожностью смотреть за тем, дабы не оказаться в хитросплетении махинаций кардинала.
Ферма избрал стратегию неукоснительного выполнения возложенных на него обязанностей и не волновался о себе. У него не было особенных политических амбиций, и он делал все от него зависящее, дабы по возможности оставаться в стороне от кипения парламентских страстей. Всю энергию, которую ему получалось сохранить по окончании выполнения служебных обязанностей, Ферма отдавал математике, и, в то время, когда не требуется было приговаривать священников к сожжению на эшафоте, Ферма с удовольствием предавался своему увлечению. По существу, Ферма был подлинным ученым-любителем, человеком, которого Э.Т. Белл назвал «князем любителей». Но математический талант его был столь велик, что Джулиан Кулидж в своей книге «Математика великих любителей» исключил Ферма из любителей на том очень веском основании, что тот «был так велик, что обязан принимать во внимание специалистом».
В начале XVII века математика еще лишь оживала по окончании мрачного Средневековья, и занятия данной наукой в глазах общества котировались не весьма высоко. Соответственно, отношение к математикам было лишено должного уважения, и многим математикам приходилось своими силами добывать средства для занятий любимой наукой. К примеру, Галилей не смог изучать математику в Пизанском университете и был должен искать себе частного учителя. Единственное учебное заведение в Европе, где математиков деятельно поощряли, был Оксфордский университет, создавший в 1619 году Савильянскую кафедру геометрии. По правде сообщить, математики XVII века в большинстве своем были любителями, но Ферма был особенным случаем. Живя далеко от Парижа, он был изолирован кроме того от того маленького математического сообщества которое тогда существовало (а в него входили такие фигуры, как Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и папа Марен Мерсенн).
Папа Мерсенн внес небольшой вклад в теорию чисел, и однако в истории математики XVII века он сыграл более серьёзную, не смотря на то, что и неоднозначную, роль, чем его более признанные и почитаемые коллеги. По окончании вступления в 1611 году в орден минимов Мерсенн изучал математику, а после этого преподавал данный предмет другим монахиням и монахам в монастыре ордена в Невере. Восемью годами позднее Мерсенн переезжает в Париж и присоединяется к ордену Миним дель’Анносиад, рядом от Пале Ройяль — места, где, конечно же, планировали интеллектуалы. Мерсенн виделся с парижскими математиками, но их нежелание обсуждать научные неприятности с ним и между собой опечалило его.
Замкнутость парижских математиков была традицией, сохранившейся от косситов XVI века. Косситы были знатоками всевозможных вычислений. деловые люди и Купцы прибегали к их услугам для решения непростых задач, появляющихся в связи с учетом товаров. Слово «коссит» восходит к итальянскому слову «cosa», означающему «вещь», так как косситы применяли знаки для обозначения малоизвестных величин, подобно тому, как современные математики обозначают малоизвестную величину знаком x. Все, кто в ту пору профессионально занимался решением задач, изобретали собственные хитроумные способы исполнения вычислений и держали их в тайне, дабы сохранить свою репутацию уникальных людей, талантливых решать задачи того либо иного типа.
Исключением был Никколо Тарталья, придумавший способ стремительного решения кубических уравнений. Он сказал свое открытие Джироламо Кардано и забрал с того клятву, что тот никому не откроет доверенную ему тайну. Через десятилетие Кардано нарушил свое обещание и опубликовал способ Тартальи в книге «Ars Magna» (Великое мастерство). Данный поступок Тарталья ни при каких обстоятельствах не забыл обиду Кардано. Он порвал все отношения с Кардано, а последовавшее после этого острое публичное разбирательство лишь укрепило остальных математиков в решимости хранить свои опытные тайны. Скрытный темперамент математических изучений сохранился до конца XIX века, и, как мы заметим в будущем, имеются отдельные примеры, в то время, когда математические гении проводили свои изучения в тайне от сотрудников кроме того в двадцатом веке.
По прибытии в Париж папа Мерсенн вознамерился покончить с обычаем математиков проводить изучения в тайне от своих сотрудников и стал всячески содействовать обмену идей между математиками и поощрять применение результатов одного математика в работе другого. Папа Мерсенн добился того, что математики начали систематично проводить встречи. Позднее его несколько стала тем ядром, около которого сформировалась Французская академия. В случае если все приглашенные на совещание отвечали отказом, то Мерсенн все же старался собрать какую-то группу, информируя математикам содержание работ и писем, отправленных ему тайно. Для человека в сутане такое поведение вряд ли было этичным, но папа Мерсенн оправдывал его тем, что обмен информацией идет на пользу математике и человечеству. Столь неблаговидные поступки, очевидно не могли не вызывать резкой полемики между монахом, руководствовавшимся благими намерениями, и «солистами» ученого мира, не склонными делиться с сотрудниками своими тайнами. Все это стало причиной разрыву давних взаимоотношений между Мерсенном и Декартом (длившихся со времен совместной учебы в иезуитском Коллеже в Ла Флеше). Мерсенн опубликовал философские работы Декарта, каковые имели возможность бы быть истолкованы как оскорбительные для церкви, но к чести отца Мерсенна необходимо заметить, что он посвятил свое выступление защите Декарта, в то время, когда тот был подвергнут критике со стороны теологов (ранее Мерсенн поступил так же, в то время, когда церковные власти преследовали Галилея). В эру магии и тотального господства религии папа Мерсенн отстаивал рациональную идея.
Мерсенн большое количество путешествовал по Франции и далеко за ее пределами, везде распространяя вести о последних математических открытиях. В своих странствиях он, например, захотел встретиться с Пьером де Ферма, и их встреча, по-видимому, стала единственным контактом тулузского отшельника с другим математиком. Мерсенн оказал на «князя любителей» влияние, уступавшее, быть может, лишь «Математике» Диофанта (сборнику математических трактатов, доставшихся XVII веку в наследие от древних греков). Ферма ни при каких обстоятельствах не расставался с «Математикой».
Кроме того в то время, когда от поездок было нужно отказаться, Мерсенн поддерживал отношения с Ферма и другими математиками, направляя им огромное количество писем. По окончании смерти Мерсенна обнаружилось, что его апартаменты были битком набиты письмами от семидесяти восьми разных обозревателей.
Не обращая внимания на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Ферма настойчиво отказывался публиковать свои доказательства. признание и Публикация результатов ничего не означали для него. Ферма приобретал удовлетворение от сознания того, что он в тиши своего кабинета без помех может создавать новые теоремы. Но скромный и замкнутый гений не был чужд озорству. В сочетании с его отстраненностью это время от времени проявлялось при общении Ферма с другими математиками, в то время, когда он поддразнивал своих сотрудников: направляя им письма с формулировками последних теорем, он неизменно умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим современникам вызов, испытывая их свойство отыскать недостающее подтверждение.
То, что Ферма ни при каких обстоятельствах не раскрывал своих доказательств, вызывало у его сотрудников чувство горького разочарования. Рене Декарт именовал Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис именовал его «проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особенное наслаждение разыгрывать своих сотрудников по ту сторону Ла-Манша.
Кроме наслаждения, которое доставляло Ферма поддразнивание своих сотрудников, его обыкновение формулировать проблему и скрывать ее решение имело под собой и более практическую мотивацию. В первую очередь оно означало, что Ферма не имел времени детально излагать полученное им подтверждение; он спешил перейти к решению следующей неприятности. Помимо этого, такая тактика избавляла Ферма от небольших придирок со стороны ревнивых сотрудников. Будучи опубликованным, подтверждение делается доступным для критики и изучения со стороны всех и каждого, кто хотя бы мало смыслит в предмете. В то время, когда Паскаль начал настаивать на публикации некоторых из работ Ферма, тулузский отшельник возразил: «Какая бы из моих работ ни считалась хорошей опубликования, я вовсе не хочу, дабы мое имя оказалось в печати». Ферма был замкнутым гением, пожертвовавшим славой для того, дабы критики не досаждали ему мелочными придирками.
В переписке Ферма с Паскалем (единственный случай, в то время, когда Ферма обсуждал идеи с кем-нибудь, не считая Мерсенна) обращение шла о рождении нового раздела математики — теории возможностей. Паскаль ввел математического отшельника в круг неприятностей новой дисциплины, и исходя из этого ему, не обращая внимания на пристрастие к уединению, было нужно поддерживать диалог. Общими усилиями Ферма и Паскаль взяли первые доказательства и нашли в теории возможностей незыблемые истины, не смотря на то, что неопределенность — сущность предмета данной теории. Интерес Паскаля к теории возможностей пробудил опытный игрок из Парижа Антуан Гомбо, шевалье де Мере, который поставил перед Паскалем задачу, имевшую отношение к следующей азартной игре. Игроки по очереди бросают игральную кость и подмечают, сколько очков выпадает при броске. Побеждает (и забирает стоящие на кону деньги) тот из игроков, кто первым соберёт определенное количество очков.
Гомбо игрался в эту игру с партнером, но оба вынуждены были прекратить игру под давлением непредвиденных событий. Появилась неприятность: как поделить деньги, находившиеся на кону? Простое решение состояло бы в том, дабы всю сумму, находившуюся на кону, забрал тот из партнеров, который успел собрать больше очков, но Гомбо задавал вопросы у Паскаля, не существует ли более честного метода поделить деньги. Паскалю было нужно вычислить возможность каждого из партнеров на выигрыш при продолжения игры в предположении, что любой партнер набирал бы последующие очки с однообразной возможностью. Деньги, находившиеся на кону, следовало бы поделить пропорционально вычисленным возможностям.
До XVI века законы возможности определялись исходя из опыта и интуиции игроков, но Паскаль затеял переписку с Ферма с целью открыть математические правила, каковые более совершенно верно обрисовывают законы случая. Три столетия спустя Бертран Рассел так прокомментировал данный явный оксиморон: «Когда мы осмеливаемся сказать о законах случая? Разве случай — не антитеза всякому закону?»
Французы изучили задачу Гомбо и скоро осознали, что она относительно несложна и ее возможно строго решить, выяснив все потенциальные финалы игры и приписав каждому финалу соответствующую возможность. И Паскаль, и Ферма сумели независимо решить задачу Гомбо, но их сотрудничество ускорило решение и разрешило им глубже изучить другие, более узкие и тяжёлые, вопросы теории возможностей.
Задачи теории возможностей время от времени кажутся парадоксальными, по причине того, что математическое решение (верный ответ) часто не согласуется с интуицией. Такие провалы интуиции смогут показаться необычными, потому, что «выживание наиболее приспособленного» должно было оказать сильное эволюционное давление на развитие мозга, талантливого от природы анализировать неприятности теории возможностей. Возможно представить себе предков, подкрадывающихся к олененку и решающих, стоит либо не следует им нападать на него. Велик ли риск, что олень ринется защищать свое чадо и нападет на обидчика? Иначе, какова возможность, что представится более эргономичный случай добыть свежее мясо на обед, в случае если наступление на олененка считать излишне рискованным? Талант к оценке возможностей должен быть неотъемлемым элементом нашей генетической структуры, и однако наша интуиция часто заставляет нас делать неверные заключения.
К примеру, в сильнейшем несоответствии с интуицией находится задача о возможности совпадения дней рождения. Представьте себе футбольное поле, на котором находятся 23 человека: игроки двух команд (22 человека) и судья. Какова возможность, что у двух из них дни рождения совпадают?
Потому, что речь заходит о 23 людях, а выбирать приходится из 365 дней, думается маловероятным, дабы у кого-нибудь из тех, кто находится на футбольном поле, дни рождения совпали. В случае если попросить кого-нибудь оценить возможность совпадения числом, то большая часть людей оценят эту возможность не выше 10 %. В конечном итоге же верный ответ гласит: чуть выше 50 %. В противном случае говоря, в случае если взвешивать на весах теории возможностей, то возможность совпадения дней рождения все-таки чуть-чуть больше, чем возможность того, что никакие два дня рождения не совпадают.
Обстоятельство столь высокой возможности совпадения двух дней рождения содержится в том, что число способов, которыми людей возможно разбить на пары, значительно больше числа самих людей. В случае если требуется отыскать совпадающие дни рождения, то нужно знать не количество людей, а число пар, на каковые их возможно разбить. Так как число людей на футбольном поле равняется 23, то число пар равняется 253. К примеру, первого из находящихся на футбольном поле возможно включать в одну несколько с любым из 22 других, что дает для начала 22 пары. Второму возможно подобрать в несколько любого из 21 остальных людей на поле (потому, что мы уже сосчитали второго один раз, в то время, когда подсчитывали число пар с участием первого, число пар со вторым направляться уменьшить на единицу), и мы приобретаем еще 20 пар. Рассуждая так же, мы в итоге возьмём 253 пары.
То, что возможность совпадения дней рождения в группе из 23 людей оказывается больше 50 %, противоречит интуиции. Однако с позиций математики ответ верный. Именно на такие «необычные», противоречащие интуитивным, представления опираются игроки и букмекеры, применяя опрометчивость азартных людей. В следующий раз, в то время, когда вам произойдёт быть на совещании либо званом обеде, на котором окажется 23 участника, имеете возможность заключить пари, что среди присутствующих найдутся два человека, дни рождения которых совпадают. направляться иметь в виду, что в группе из 23 человек возможность совпадения двух дней рождения только легко превышает 50 %, но с повышением численности группы возможность совпадения быстро возрастает.
Ферма и Паскаль заложили фундамент тех правил, которым подчиняются все азартные игры и каковые смогут быть использованы игроками, дабы выработать стратегию заключения и идеальную стратегию игры пари. Помимо этого, найденные Ферма и Паскалем законы теории возможностей нашли приложения в целом последовательности областей людской деятельности — от спекулятивной игры на фондовой бирже до оценивания возможности ядерной трагедии.
Паскаль был кроме того уверен, что имел возможность бы применить свои теории для обоснования веры в Всевышнего. Он утверждал, что «азарт, который испытывает игрок при заключении пари равен произведению той суммы, которую он может победить, и возможности выигрыша». Потом Паскаль утверждал, что вероятный выигрыш вечного блаженства владеет вечно большой ценностью, а возможность попасть в царство небесное, в случае если вести добродетельную жизнь, заведомо конечна. Следовательно, по определению Паскаля, религия — игра вечно азартная и стоящая того, дабы в нее игрались, поскольку произведение вечно громадного потенциального выигрыша на конечную возможность вечно громадно.
Разделяя с Паскалем честь быть отцом-основателем теории возможностей, Ферма по праву может кроме этого принимать во внимание одним из основателей еще одной области математики — дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление разрешает вычислять скорость трансформации, либо производную, одной величины довольно другой (к примеру, скорость трансформации расстояния довольно времени, известную легко как скорость). Для математиков величины, в большинстве случаев, абстрактны и неосязаемы, но труды Ферма имели своим следствием настоящий переворот в физике. Математика Ферма разрешила физикам лучше осознать, что такое скорость, и какова ее сообщение с другими фундаментальными величинами, такими, как ускорение — скорость трансформации скорости довольно времени.
Дифференциальное исчисление оказывает сильное влияние на экономику. Инфляция — это скорость трансформации цены, известная как производная цены. Помимо этого, экономистов довольно часто интересует скорость трансформации инфляции, известная как вторая производная цены. Эти термины довольно часто употребляются политиками, и великий математик Хуго Росси в один раз увидел: «В осеннюю пору 1972 года президент Никсон объявил, что скорость роста инфляции убывает. Это был первый случай, в то время, когда правящий президент применял третью производную, дабы расширить свой шанс на переизбрание».
в течении более двух столетий принято было считать, что Исаак Ньютон открыл дифференциальное исчисление независимо от Ферма, не зная о его работах. Но в 1934 году Луис Треншар Мур нашёл заметку, которая разрешила внести в вопрос о приоритете полную ясность и воздать Ферма по заслугам. Ньютон писал, что, разрабатывая дифференциальное исчисление, он опирался на «способ построения касательных месье Ферма». С XVIII века дифференциальное исчисление употреблялось для описания закона всемирного его законов и тяготения Ньютона механики, зависящих от расстояния, ускорения и скорости.
Одного только участия в создании теории вероятностей и дифференциального исчисления было бы даже больше чем нужно, дабы обеспечить Ферма место в зале славы математики, но его величайшее достижение лежит в другой области математики.
Дифференциальное исчисление употребляется при посылке космических судов на Луну, теория возможностей — при оценке рисков страховых компаний, но Ферма питал глубочайшую любовь к разделу, который не давал слово никаких приложений — теории чисел. Ферма был обуян страстью — ему хотелось во что бы то ни начало понять отношения и свойства чисел между ними. Теория чисел — наиболее чистая старейшая область математики, и Ферма развивал данный раздел математики, доставшийся ему в наследство от Пифагора.

Эволюция теории чисел

По окончании смерти Пифагора представление о математическом доказательстве быстро распространилось по всему цивилизованному миру. Два столетия спустя по окончании того, как его Академия сгорела до основания, центр математических изучений переместился из Кротона в город Александрию. В 332 году до н. э., покорив Грецию, Египет и Малую Азию, Александр Македонский решил выстроить столицу, которая должна была стать самым величественным городом мира. Александрия вправду стала красивейшим городом и к тому же, не смотря на то, что и не сходу, научным центром. Лишь по окончании смерти Александра Македонского, в то время, когда на египетский трон взошел его единоутробный брат Птолемей I, Александрия стала тем местом, где появилось первое в мире высшее учебное заведение — Академия. другие интеллектуалы и Математики, привлеченные репутацией Академии, и, еще в основном, Александрийской библиотеки, стали перебираться в культурную столицу Птолемея I.
План создания Библиотеки принадлежал Деметрию Фаларею, непопулярному оратору, который был должен бежать из Афин.
По окончании продолжительных странствий он отыскал прибежище в Александрии. Фаларею удалось внушить Птолемею I идея о том, что направляться собрать все великие произведения, а за книгами в Александрию потянутся и великие умы. В то время, когда в хранилищах Александрийской библиотеки были собраны произведения из Греции и Египта, особые агенты разъехались в отыскивании сокровищ знания по Малой Азии и Европе. Ненасытный аппетит собирателей Библиотеки чувствовали на себе все, кто посещал в ту пору Александрию: при въезде в город у приезжих отбирали всю литературу и передавали писцам. Со всех произведений те снимали копии, по окончании чего подлинники отправлялись в Библиотеку, а копии с признательностью возвращались прошлым обладателям книг. Тщательное копирование всех произведений, оказавшихся в багаже прибывающих в Александрию путешественников, вселяет в современных историков надежду, что где-нибудь в мире на чердаке будет найдена копия какого-нибудь великого произведения, считавшегося утерянным. Так, в 1906 году историк науки Гейберг нашёл в Константинополе такую рукопись — «Способ», в которой находилось пара произведений Архимеда.
Мечта Птолемея I о постройке сокровищницы знания пережила его самого, и к тому времени, в то время, когда на троне сменилось пара представителей династии Птолемеев, Александрийская библиотека уже насчитывала более 600 000 произведений. Изучая математику в Александрии, математики имели возможность обучиться всему, что было известно в мире, а учили их в Академии самые известные ученые Старого Мира. Первым главой матфакультета был не кто другой, как сам Евклид.
Евклид появился около 330 года до н. э. Подобно Пифагору, Евклид искал математическую истину для самой математической истины и не занимался поиском приложений своих работ. Легенда говорит, что один ученик задал вопрос Евклида, какая польза от математики, которую он изучает. Завершив урок, Евклид обратился к рабу и, указав на ученика, сообщил: «Дай ему обол, потому что он хочет иметь пользу от того, что изучает». Скоро данный ученик был изгнан.
Большую часть своей жизни Евклид совершил за написанием «Начал» — книжки геометрии, имевшего громаднейший успех за всю историю. Впредь до XX века «Начала» были вторым бестселлером по окончании Библии. «Начала» складываются из тринадцати книг, часть которых посвящена изложению данных исследований самого Евклида, а остальные являются компиляцией всех математических знаний его века. К примеру, данные исследований участников пифагорейского братства занимают две книги. За столетия, прошедшие по окончании смерти Пифагора, математики изобрели множество разнообразных логических приемов, применимых в разных событиях, и Евклид искусно применял в «Началах» все эти способы. В частности, Евклид применил логическое оружие, видное как reductio ad absurdum, либо подтверждение от противного. Данный способ вращается около достаточно хитроумной идеи: дабы доказать истинность теоремы, в первую очередь нужно высказать предположение, что эта теорема неверна. Потом великий математик изучает логические следствия того, что теорема неверна. В каком-то пункте в логической цепочке обнаруживается несоответствие (к примеру, узнается, что 2+2=5). Математика питает непреодолимое отвращение к несоответствиям. Из этого делается заключение, что исходная теорема не может быть неверна, т. е. она подлинна.
Британский великий математик Г.Г. Харди коротко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, — одно из самых красивых орудий математика. Это значительно более узкий гамбит, чем каждая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой либо кроме того какой-нибудь фигурой, но великий математик жертвует партией».
Одно из наиболее известных доказательств Евклида от противного — подтверждение существования так называемых иррациональных чисел. По-видимому, иррациональные числа первоначально были открыты пифагорейцами несколькими столетиями раньше, но понятие иррационального числа вызывало у Пифагора столь сильное отвращение, что он отрицал существование иррациональных чисел.
В то время, когда Пифагор провозгласил, что Вселенной руководят числа, он имел в виду лишь их отношения и целые числа, именуемые рациональными числами. Иррациональное же число не есть ни целым, ни дробью, и именно это событие казалось Пифагору ужасным. Вправду, иррациональные числа так необыкновенны, что их нереально записать в виде конечных десятичных дробей либо нескончаемых периодических дробей. К примеру, такая нескончаемая периодическая постоянная дробь, как 0,111111…, — число очень и очень обычное: оно равняется дроби 1/9. То, что единица повторяется неограниченно неоднократно, свидетельствует только, что данное десятичное число владеет весьма простой и регулярной структурой. Со своей стороны такая строгая регулярность, не обращая внимания на неоднократное (в конечном итоге — бесконечнократное) повторение, свидетельствует, что данную нескончаемую десятичную дробь возможно записать в виде обычной дроби. Но если вы захотите представить иррациональное число в виде десятичной дроби, то у вас окажется дробь , структура которой не будет регулярной и какое количество-нибудь обозримой.
Для Пифагора мысль красоты математики пребывала в том, что рациональные числа (обыкновенные дроби и целые числа) разрешают растолковать все явления в природе. Эта путеводная философия ослепила Пифагора, не давая ему заметить существование иррационального числа и, быть может, кроме того стала причиной казни одного из его учеников. Легенда расскаыло сообщить о его преподаватель. Пифагор определял все происходящее в мире посредством рациональных чисел, и существование иррациональных чисел ставило под сомнение его идеал. Открытие Гиппаса имело возможность бы повлечь за собой период споров и сомнений, и Пифагору было нужно бы признать новый источник чисел. Но Пифагор не желал признать свои заблуждения и одновременно с этим не имел возможности уничтожить аргументацию Гиппаса силой логики. К своему вечному позору, он приговорил Гиппаса к смертной казни через утопление.
Папа логики и математического способа прибег к силе, но так и не принял, что был неправ. Это было его самым позорным деянием и, быть может, величайшей катастрофой греческой математики. Иррациональные числа получили «права гражданства» в математике лишь по окончании смерти Пифагора.
Введение иррациональных чисел означало огромный прорыв в математике. Математики взяли возможность кинуть взор за пределы обыкновенных дробей и целых чисел, оглядеться и открывать либо, возможно, изобретать новые числа. По словам математика XIX века Леопольда Кронекера: «Всевышний создал целые числа; все другое дело рук человеческих».
де десятичной дроби, поскольку десятичная дробь получается нескончаемой и в распределении цифр нет никакой закономерности. Одна из превосходных изюминок случай
почему Пифагор настаивал на том, дабы сведения о существовании столь необыкновенных математических «зверей» оставались достоянием только узкого круга посвященных.

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
0974944592307816406286208998628034825342117067982148086
5132823066470938446095505822317253594081284811174502841
0270193852110555964462294895493038196442881097566593344
6128475648233786783165271201909145648566923460348610454
3266482133936072602491412737245870066063155881748815209
2096282925409171536436789259036001133053054882046652138
4146951941511609433057270365759591953092186117381932611
7931051185480744623799627495673518857527248912279381830
1194912983367336244065664308602139494639522473719070217
9860943702770539217176293176752384674818467669405132000
5681271452635608277857713427577896091736371787214684409
0122495343014654958537105079227968925892354201995611212
9021960864034418159813629774771309960518707211349999998
3729780499510597317328160963185950244594553469083026425
2230825334468503526193118817101000313783875288658753320
8381420617177669147303598253490428755468731159562863882
3537875937519577818577805321712268066130019278766111959
0921642019893809525720106548586327886593615338182796823
0301952035301852968995773622599413891249721775283479131
5155748572424541506959508295331168617278558890750983817
5463746493931925506040092770167113900984882401285836160
3563707660104710181942955596198946767837449448255379774
7268471040475346462080466842590694912933136770289891521
0475216205696602405803815019351125338243003558764024749
6473263914199272604269922796782354781636009341721641219
9245863150302861829745557067498385054945885869269956909
2721079750930295532116534498720275596023648066549119881
8347977535663698074265425278625518184175746728909777727
938000816470200161452491921732172147723501414419735

В то время, когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель была в том, чтобы доказать существование числа, не представимогоменатель возможно поделить на одно да и то же целое число. К примеру, дробь 8/12 возможно упростить, сократив знаменатель и числитель на 2 и перевоплотив ее в дробь 4/6. Со своей стороны, дробь 4/6 возможно упростить до 2/3, а вот дробь 2/3 уже предстоящему упрощению не поддается, из-за чего и именуется несократи приводится к несократимому виду. Но это нелепо, поскольку все дроби приводимы к несократимому виду. Следовательно, гипотетическая дробь не существует. Это оз
Применяя подтверждение от противного, Евклид сумел доказать существование иррациональных чисел. До Евклида все числа, с которыми люди имели дело, были представимы как целые числа либо обычные дроби, но евклидовы иррациональные числа игнорировали классическое представление чисел. Не существует иного метода обрисовать чной дроби не дает возможность приобрести ничего, не считая приближения, к примеру, 1,414213562373…
Не смотря на то, что Евклид, без сомнений, питал интерес к теории чисел, его величайший вклад в математику был сделан в другой области. Подлинной страстью Евклида была геометрия, и из тринадцати книг, составляющих «Начала», книги I–VI посвящены планиметрии (двумерной геометрии), а книги XI–XIII — стереометрии. Данный свод геометрических знаний был такими полным, что содержание «Начал» составляло базу программ по геометрии в университетах и школах в течении следующих двух тысяч лет.
Математиком, составившим подобный свод знаний по теории чисел, стал Диофант Александрийский, последний защитник греческой традиции. Не смотря на то, что успехи Диофанта в теории чисел достаточно задокументированы в его книгах, по существу ничего больше об этом превосходном математике не известно. Не известно, где он появился. В Александрию Диофант имел возможность прибыть в любое время в течении «окна», протяженностью в пять столетий! В своих произведениях Диофант цитирует Гипсикла, из чего возможно сделать вывод, что Диофант жил по окончании 150 года до н. э.; иначе, труды самого Диофанта цитирует Теон Александрийский, из чего направляться, что Диофант жил до 364 года н. э. Разумной в большинстве случаев считается дата — около 250 года н. э. Точно известно только необычное жизнеописание Диофанта. По преданию, оно было высечено на его надгробии в виде задачи-головоломки, как будто бы специально предназначенной любителям математики:
«Всевышний ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; по окончании седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет по окончании вступления в законный брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен бессердечным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».
Требовалось вычислить длительность жизни Диофанта. Решение данной задачи приведено в Приложении 3.
Эта головоломка может служить примером задач того рода, каковые обожал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Сейчас такие задачи известны называющиеся диофантовых. Деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал узнаваемые и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в громадном труде называющиеся «Математика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Математики», лишь шесть пережили стали Средних и хаос веков источником вдохновения для математиков ренесанса, а также и для Пьера де Ферма. Остальные семь книг погибли в следствии цепочки ужасных событий, каковые отбросили математику к временам древних вавилонян.
в течении столетий, разделяющих Евклида и Диофанта, Александрия оставалась интеллектуальной столицей цивилизованного мира, но целый данный период великий город был на грани нападения иностранных армий. Первое большое нападение произошло в 47 году до н. э., в то время, когда Юлий Цезарь предпринял попытку скинуть Клеопатру с трона, предав сожжению александрийский флот. Библиотека, расположенная рядом от гавани, стала жертвой пожара. Много тысяч книг погибли. К счастью для науки, Клеопатра по преимуществу ценила значение Библиотеки и решительно вознамерилась вернуть ее в прежней славе. Марк Антоний осознал, что путь к сердцу просвещенной царицы лежит через Библиотеку, и отправился маршем на Пергам. В этом городе уже была заложена своя библиотека. Правители города сохраняли надежду, что со временем она станет самым богатым книгохранилищем в мире, но Марк Антоний помешал сбыться этим надеждам, послав все собрание книг в Египет и вернув тем самым главенство Александрии.
в течении четырех следующих столетий Библиотека пополняла свою коллекцию — до 389 года н. э., в то время, когда ей был нанесен первый из двух роковых ударов. Обстоятельством обоих ударов стал религиозный фанатизм. Византийский император Феодосий приказал епископу Александрийскому Теофилу уничтожить все языческие монументы. К сожалению, восстанавливая и восполняя Библиотеку, Клеопатра решила отвести под нее храм Сераписа. По приказу императора, это здание было уничтожено, а «языческие» ученые, пробовавшие спасти рукописи, накопленные за шесть столетий, растерзаны толпой фанатиков. Началась мрачная эра Средних столетий.
Пара драгоценных экземпляров наиболее серьёзных книг пережили бойню, учиненную христианами, и ученые наведывались в Александрию в отыскивании знания. Но в 642 году последовало наступление мусульман. В этом случае поражение потерпели христиане. На вопрос, что делать с Библиотекой, одержавший победу халиф Омар объявил, что книги, противоречащие Корану, должны быть стёрты с лица земли как вредоносные, а книги, согласующиеся с Кораном, кроме этого должны быть стёрты с лица земли как излишние. Рукописи были брошены в печи, которыми отапливались публичные бани, и греческая математика обратилась в дым. Не страно, что большинство «Математики» Диофанта была стёртой с лица земли. Нужно считать чудесным образом, что шесть книг «Математики» смогли сохраниться, пережив катастрофу Александрии.
Следующую тысячу лет математика на Западе пребывала в упадке, и лишь пара Аравии и выдающихся учёных Индии не дали ей совсем угаснуть. Они скопировали формулы из сохранившихся греческих математических рукописей и принялись заново придумывать для этих формул потерянные теоремы. Помимо этого, они пополнили математику новыми элементами и среди другого изобрели число нуль.
В современной математике нуль делает две функции. Во-первых, нуль разрешает нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, знак 0 нужен для обозначения пустой позиции. К примеру, 52 свидетельствует 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, тогда как 502 свидетельствует 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играется решающую роль при устранении неоднозначности. Кроме того вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили применение нуля чтобы не было путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, применяя кружок, похожий на тот знак нуля, который мы используем сейчас. Но нуль делает еще одну, более деликатную и большую, функцию, которую всецело оценили только через пара столетий индийские математики. Они поняли, что нуль не только разрешает заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» в первый раз получило свой осязаемый знак.
Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не нужно забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, а также Аристотеля. Согласно точки зрения Аристотеля нуль должен был быть заявлен вне закона, потому, что он нарушал единообразие других чисел: деление обычного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта был уже таким искушённым, что применял деление на нуль для определения бесконечности.
Тогда как Европа покинула благородный поиск истины, Аравия и Индия усиливали знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более ясном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные неуклюжие римские и греческие символы числительные общепринятой и сейчас системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попытайтесь умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 значительно несложнее. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это со своей стороны определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Евклида и Идеи Пифагора отличались громадным изяществом, не обращая внимания на неотёсанное и неуклюжее оформление, но по окончании перевода в арабскую символику они расцвели и принесли большое количество плодов, породив богатые и новые понятия.
В десятом веке французский ученый Герберт Аврилакский перенял новую систему счисления у испанских мавров и, занимаясь преподаванием в школах и церквах по всей Европе, внедрил новую систему на Западе. В 999 году он стал папой Сильвестром II, и это разрешило ему содействовать еще большему распространению новых индо-арабских цифр. И не смотря на то, что необыкновенная эффективность новой системы счисления произвела настоящий переворот в исполнении всех счетных операций и была быстро воспринята торговцами, она слабо содействовала оживлению европейской математики.
Жизненно серьёзным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, в то время, когда турки разграбили Константинополь. За прошлые годы рукописи, спасенные по окончании уничтожения Александрии, нашли убежище в Константинополе, и сейчас опять оказались под угрозой уничтожения. Византийские ученые бежали на запад, прихватив с собой те тексты, каковые имели возможность унести. Пережив нападения Цезаря, епископа Теофила, халифа Омара, а сейчас еще и турок, пара драгоценных книг «Математики» Диофанта проделали обратный путь в Европу. Будущее распорядилась так, дабы произведение Диофанта выяснилось на рабочем столе Пьера де Ферма.

Рождение проблемы

Судебные обязанности Ферма поглощали большую часть его времени, а те скудные часы досуга, каковые все же оставались, Ферма полностью посвящал математике. Частично это разъяснялось тем, что во Франции XVII века не поощрялись светские связи судей.
Считалось, что приятели и светские привычные судей сами могут быть под судом, и тогда индивидуальные связи смогут помешать осуществлению правосудия. Изолированный от другой части высшего общества Тулузы, Ферма имел возможность сосредоточиться на своем любимом занятии.

Фронтиспис перевода «Математики» Диофанта выполненного Клодом Гаспаром Баше и размещённого в 1621 году. Эта книга во многом вдохновила Ферма на его изучения

Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был преподаватель математики, который поощрял своего талантливого ученика. учителем и Наставником Ферма стала «Математика» Диофанта. В «Математике» теория чисел, как было принято во времена Диофанта, излагалась в виде их решений и ряда задач. В конечном итоге Диофант развернул перед Ферма картину целого тысячелетия, заслуживающего осмысления со стороны математика. В одной «Математике» Ферма имел возможность отыскать все, что было известно о числах благодаря трудам Евклида и последователей Пифагора. Теория чисел замерла по окончании варварского сожжения Александрии, но Ферма преисполнился решимости возродить изучение самой фундаментальной из всех математических дисциплин.
Книга, вдохновившая Ферма, была латинским переводом «Математики», выполненным Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком, считавшимся самым ученым человеком во всей Франции. Блестящий лингвист, знаток и поэт классических языков и литературы, Баше питал любовь к математическим задачам-головоломкам. Его первой публикацией был сборник занимательных задач называющиеся «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres» [2]. В сборнике были задачи о переправах через реку, переливании жидкостей и пара фокусов с отгадыванием задуманного числа. Одна из задач ставила вопрос о подборе гирь: «Каков мельчайший комплект гирь, который разрешит взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг?»
Баше отыскал остроумное решение задачи, показывающее, что удовлетворить ее требованиям возможно, располагая комплектом всего лишь из четырех гирь. Решение Баше приводится в Приложении 4.
Не смотря на то, что Баше был в математике всего лишь любителем, его интерес к задачам-головоломкам был так велик, что разрешил ему понять: задачи, приведенные в «Математике» Диофанта, — не просто головоломки и требуют более глубокого изучения. Баше поставил перед собой задачу перевести труд Диофанта и опубликовать его для того, чтобы вдохнуть в способы греческих математиков новую жизнь. направляться иметь в виду, что большинство достижений древних математиков было полностью забыто. Высшую математику не изучали кроме того в самых больших европейских университетах, и лишь благодаря таким ученым, как Баше, она стала быстро оживать. Публикация в 1621 году выполненного Баше латинского перевода «Математики» Диофанта была его вкладом в начало второго золотого века в истории математики.
В «Математике» собраны много задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь большой уровень доступности. Его совсем не интересовало создание книжки для будущих поколений. Он жаждал только одного — взять удовлетворение от решенной им задачи. Изучая решения и задачи Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и начал помышлять о том, дабы самому заняться решением подобных и более узких задач. Ферма записывал для себя только самое нужное чтобы убедиться в правильности взятого решения, и не беспокоился о том, дабы изложить другую часть доказательства. Значительно чаще сделанные им торопливые записи отправлялись прямиком в мусорную корзину, по окончании чего Ферма нормально переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод «Математики» имел широкие поля, и время от времени Ферма торопливо записывал на них движение своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, не смотря на то, что и пара отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.
Одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с идеальными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами именуются два числа, каждое из которых равняется сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 помогают числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. Иначе, делителями числа 284 помогают числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.
Несколько чисел 220 и 284 стали считать знаком дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» [3] говорит о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы содействующими упрочнению любви. Некоторый арабский нумеролог информирует об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой позволял съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления амурного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в качестве подарка брату своему Исаву 220 животных — «двести коз, двадцать козлов». Согласно точки зрения теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную несколько, говорит о любви Иакова к Исаву.
Кроме 220 и 284 других дружественных чисел не было известно впредь до 1636 года, в то время, когда Ферма нашёл несколько 17 296 и 18 416. И не смотря на то, что это открытие нельзя назвать ответственным, оно говорит о том, что Ферма прекрасно знал натуральные числа и обожал «играться» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью несколько (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил перечень дружественных чисел до 62-й пары. Весьма интересно подчернуть, что Эйлер и Декарт «проглядели» значительно меньшую несколько дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл несколько 1184 и 1210.
В двадцатом веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел — замкнутых циклов из трех и более чисел. К примеру, в тройке чисел
(1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920)
делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый долгий из известных циклов складывается из 28 общительных чисел, первое из которых равняется 14 316.
Не смотря на то, что открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им тяжёлых задач.
К примеру, Ферма увидел, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых является квадратом (25 = 52 = 5·5), а другое — куб (27 = 33 == 3·3·3). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между кубом и квадратом, но отыскать ничего так и не удалось. Появилось подозрение, что число 26 единственное. По окончании многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное подтверждение, не оставлявшее сомнений в том, что 26 — вправду единственное число, заключенное между кубом и квадратом. Предложенная им цепочка логических аргументов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не владеет этим свойством.
Ферма сказал об неповторимом свойстве числа 26 математическому сообществу и кинул вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, дабы совладать с предложенной задачей? Не обращая внимания на простоту формулировки, решение задачи (подтверждение утверждения) выяснилось очень тяжёлым — возможно сообщить, недружественным по отношению к тем, кто пробовал отыскать его, и Ферма доставляло особенное наслаждение подтрунивать над британскими математиками Валлисом и Дигби, каковые в итоге были вынуждены признать свое поражение.
События развивались так, что величайшей «заявкой» Ферма на непреходящую славу был еще один вызов, кинутый им всему остальному миру. Но это была случайная задача-головоломка, не предназначавшаяся для публичного дискуссии.

Заметка на полях

При чтении II-й книги «Математики» Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, решений и задач, которые связаны с пифагоровыми тройками и теоремой Пифагора. К примеру, Диофант разглядывал существование особенных троек, образующих так именуемые «хромые треугольники», у которых две более маленькие стороны x и y отличаются по длине лишь на единицу (к примеру, x = 20, y = 21, z = 29 и 202 + 212 = 292).
Ферма был поражен обилием и разнообразием пифагорейских треугольников. Он знал, что за большое количество столетий до него Евклид доказал (общий ход предложенного Евклидом доказательства см. в Приложении 5), что число пифагоровых троек вечно громадно. Быть может, Ферма просматривал в очередной раз подробное изложение теории пифагоровых троек у Диофанта и прикидывал, запрещено ли сообщить что-нибудь новое по этому поводу. Записывая то так, то эдак уравнение Пифагора, Ферма все старался подметить что-то такое, что ускользнуло от древних греков. Неожиданно ему пришла в голову блестящая идея, обессмертившая имя «князя любителей»: Ферма придумал уравнение, весьма похожее на уравнение Пифагора, но не имевшее ни одного решения в целых числах! Как раз об этом уравнении и определил десятилетний Эндрю Уайлс, посмотрев в книгу Белла, забранную в публичной библиотеке на Милтон-роуд.
Вместо уравнения Пифагора x2 + y2 = z2 Ферма занялся рассмотрением его варианта x3 + y3 = z3. Ферма всего лишь поменял степень на единицу, но его новое уравнение, как возможно было делать выводы, по большому счету не допускало никаких решений в целых числах. «Способом ошибок и проб» нетрудно было понять, что отыскать два куба, каковые бы в сумме давали еще один куб, не так-то легко. Неужто произведенное Ферма незначительное изменение вправду превращает уравнение, допускающее вечно большое количество решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах?
го из этих уравнений столь же тяжело. И Ферма сделал вывод, что по большому счету не существует трех целых чисел x, y, z, каковые удовлетворяли бы уравнению

xn + yn = zn, где n = 3,4,5…

На полях «Математики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма покинул такое замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» [4].

Фронтиспис издания «Математики» Диофанта опубликованного Клеманом-Самюэлем Ферма в 1670 году. В этом варианте были напечатаны и заметки на полях, покинутые отцом издателя — Пьером де Ферма

Рис. 6. Страница издания «Математики» Диофанта (1670 г.), содержащая известное замечание Пьера де Ферма

Не было обстоятельств, по которым среди всех целых чисел не должно было бы существовать по крайней мере одной тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнениям Ферма, однако Ферма утверждал, что во всем нескончаемом мире чисел нет ни одной «тройки Ферма». Утверждение было очень необыкновенным, но Ферма полагал, что располагает его доказательством. По окончании первой заметки на полях, наметившей неспециализированные контуры теории, гений, любящий позабавиться над сотрудниками-математиками, начертал еще один комментарий, над которым потом ломало голову не одно поколение математиков:
«Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet» [5]. В этом — целый Ферма, все то, что особенно злило современных ему математиков. Из его собственных слов возможно заключить, что он очень доволен своим «воистину необычным» доказательством, но ему и в голову не приходит дать себе труд написать подробности доказательства и уж тем более опубликовать его. Он так никому и не поведал о своем доказательстве, но, не обращая внимания на характерную для Ферма скромности и комбинацию лени, Великая теорема Ферма, как ее нарекли позднее, получила неслыханную славу в будущих столетиях.

Великая проблема, наконец, опубликована

Свое известное открытие Ферма совершил в начале своей математической карьеры — около 1637 года. Приблизительно через три десятилетия, выполняя свои судебные обязанности в городе Кастре, Ферма заболел. 9 января 1665 года он подписал свой последний решение суда и тремя днями позднее погиб. Открытиям Ферма, все еще пребывавшего в изоляции от парижской математической школы и отнюдь не хорошим словом поминаемого его разочарованными сотрудниками, угрожало полное забвение. К счастью, старший сын Ферма, Клеман-Самюэль, сознававший все значение любимого увлечения отца, заключил, что его открытия не должны быть утрачены для всей земли. Всем, что мы знаем о превосходных открытиях Ферма в теории чисел, мы обязаны его сыну, и если бы не Клеман-Самюэль, тайная, узнаваемая называющиеся Великой теоремы Ферма, погибла бы совместно во своим создателем.
Пять лет Клеман-Самюэль собирал письма и отцовские заметки, изучал неразборчивые надписи на полях «Математики». Заметка на полях с формулировкой Великой теоремы Ферма была только одной из вдохновенных мыслей, начертанных на полях данной книги. Клеман-Самюэль взял на себя тяжёлый труд опубликовать все эти заметки в особом издании «Математики». В 1670 году он опубликовал в Тулузе книгу называющиеся «Диофантова Математика, содержащая примечания П. де Ферма». В нее наровне с уникальным текстом на древнегреческом языке и латинском переводом Баше вошли 48 примечаний, сделанных Ферма. Примечание, воспроизведенное на рис. 6, и было тем, которое стало потом известно называющиеся Великой теоремы Ферма.
В то время, когда «Примечания» Ферма стали известны более широкому научному сообществу, все осознали, что письма, каковые он отправлял своим сотрудникам, были лакомыми кусочками из сказочного сокровища открытий. Примечания, сделанные рукой Ферма, содержат целую серию теорем. К сожалению, они были либо полностью лишены объяснений, или сопровождались маленьким наброском доказательства. Довольно часто в этих обрывках доказательств хватало красивых логических ходов, дабы у математиков не оставалось сомнения в том, что Ферма располагал доказательствами. Что же касалось восполнения подробностей, то оно всегда было вызовом, который математикам приходилось принимать.
Леонард Эйлер, один из величайших математиков XVIII века, предпринял попытку доказать одно из самых красивых примечаний Ферма — теорему о несложных числах. Несложным именуется число, которое не имеет делителей — чисел, каковые делили бы его без остатка, — не считая самого числа и единицы. К примеру, 13 — простое число, а 14 — не простое. Ни одно число не делит 13 без остатка, а 2 и 7 делят 14. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n+1, и числа, представимые в виде 4n–1, где n — некоторое целое число. Так, число 13 принадлежит к первой группе (13 = 4·3 + 1), а число 19 — ко второй группе (19 = 4·5–1). Теорема Ферма о несложных числах говорит, что простые числа первой группы неизменно представимы в виде суммы двух квадратов (13 = 22 + 32), тогда как простые числа второй группы ни при каких обстоятельствах в виде суммы двух квадратов не представимы (19 =?2 +?2). Это свойство несложных чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им владеет любое простое число, наталкиваются на серьёзные трудности. Для Ферма это подтверждение было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им «приватно», для Эйлера вернуть подтверждение стало делом чести. В 1749 году, по окончании семи лет работы и практически через сто лет по окончании смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать эту теорему о несложных числах.
В сокровищнице взятых Ферма результатов видятся разные теоремы — от фундаментальных до чисто занимательных. Математики делают выводы о важности теоремы по тому, какое влияние она оказывает на другую математику. Во-первых, теорема считается ответственной, если она представляет собой некую универсальную истину, другими словами если она верна для всей группы чисел. При теоремы Ферма о несложных числах, теорема верна не только для некоторых несложных чисел, а для всех несложных чисел. Во-вторых, ответственная теорема обязана раскрывать какую-нибудь более глубоко лежащую истину об отношениях между числами. Теорема возможно трамплином для целого сонма других теорем а также стимулом для развития новых областей математики. Наконец, теорема считается ответственной, в случае если существование целых областей изучения может оказаться на грани из-за отсутствия одного-единственного логического звена. Многие математики исходили бессильными слезами при мысли, что имели возможность бы взять ответственный итог, если бы имели возможность вернуть одно недостающее звено в цепочке логических рассуждений.
Потому, что математики применяют теоремы как ступени, ведущие к другим итогам, было очень принципиально важно доказать каждую из анонсированных Ферма теорем. Применять Великую теорему лишь вследствие того что, по утверждению Ферма, он располагал ее доказательством, было нереально. Перед тем как разрешить войти Великую теорему в дело, ее нужно было доказать со всей строгостью, в противном случае последствия могли быть самыми страшными. К примеру, представьте себе математиков, каковые приняли одну из теорем Ферма на веру. Эта теорема была бы включена ими как отдельный элемент в целую серию других, более широких, доказательств. Со временем эти более широкие доказательства были бы включены в еще более широкие доказательства, и т. д. В следствии показались бы много теорем, каковые бы опирались на истинность той самой недоказанной, принятой на веру, теоремы. Но что в случае если Ферма совершил ошибку, и недоказанная теорема в конечном итоге фальшива? Все теоремы, в доказательствах которых была бы использована фальшивая теорема, кроме этого были бы ошибочными, и огромные разделы математики упали бы. Теоремы — фундамент математики: в случае если истинность теорем установлена, то, опираясь на них, возможно возводить, пребывая наряду с этим в полной безопасности, новые теоремы. Необоснованные (недоказанные) идеи имеют вечно меньшую ценность и именуются догадками. Каждая логика, опирающаяся на догадку, сама гипотетична.
Ферма утверждал, что располагает доказательством любого из своих примечаний, исходя из этого для него все они были теоремами. Но , пока математическое сообщество в целом не вернёт каждое подтверждение, все утверждения, содержащиеся в примечаниях, рассматриваются только как догадки. в течении последних 350 лет Великую теорему Ферма вернее было бы именовать Великой догадкой Ферма.
За прошедшие столетия одно за другим были доказаны все утверждения Ферма, находившиеся в примечаниях на полях «Математики» Диофанта, и лишь Великая теорема Ферма настойчиво не поддавалась упрочнениям математиков. Ее кроме того нарекли «последней теоремой Ферма», так как она осталась последним его примечанием, которое требовалось доказать. Триста лет все попытки отыскать ее подтверждение друг за другом терпели поражение. Великая теорема ферма получила известность как самая тяжёлая «головоломка» математики. Но всеми признанная трудность неприятности не обязательно свидетельствует, что Великая теорема Ферма ответственна в том смысле, в каком это понимается выше. Великая теорема Ферма, по крайней мере впредь до самого последнего времени, не удовлетворяла нескольким параметрам: казалось, что если бы ее удалось доказать, то это не привело бы ни к какому какое количество-нибудь заметному прогрессу в развитии теории чисел и не содействовало бы доказательству других догадок.
Слава Великой теоремы Ферма обусловлена только тем, что доказать ее очень тяжело. Имеется и еще один дополнительный стимул: «князь любителей» объявил, что располагает доказательством данной теоремы, над восстановлением которой с того времени ломали голову поколения опытных математиков. Небрежные замечания Ферма на полях принадлежавшего ему экземпляра «Математики» Диофанта читались как вызов всему миру. Ферма доказал свою Великую теорему, удастся ли какому-нибудь математику превзойти либо сравняться с ним по блеску ума?
Г.Г. Харди владел очень необычным эмоцией юмора. Как-то раз он задумался, что в математическом наследии прошлого имело возможность бы сравниться с Великой теоремой Ферма по тщетности всех попыток отыскать подтверждение. К отысканному им аналогу Великой теоремы Ферма Харди обращался всегда, в то время, когда ему приходилось преодолевать ужас перед морскими путешествиями. Для него это было своего рода страхованием от несчастного случая. В случае если Харди предстояло пересечь Атлантический океан на борту лайнера, он предварительно отправлял кому-нибудь из сотрудников весточку следующего содержания:

ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПО ВОЗВРАЩЕНИИ ТЧК

Догадка Римана — неприятность, которой математика «больна» с XIX века. Логика Харди пребывала в том, что Всевышний не позволит ему утонуть вследствие того что тогда математики устремились бы в погоню за еще одним неуловимым призраком.
Великая теорема Ферма — задача поразительно тяжёлая, и однако ее возможно сформулировать так, что она станет понятной кроме того школьнику. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии нет ни одной неприятности, которая формулировалась бы так легко и определенно и оставалась нерешенной так долго. В своей книге «Великая неприятность» Э.Т. Белл высказал предположение, что быть может, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Подтверждение Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и исходя из этого не страно, что поиски его стали причиной некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски были вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за подтверждение назначались огромные премии. Из-за Великой теоремы Ферма люди дрались на дуэли, а кое-какие, отчаявшись отыскать подтверждение, кроме того заканчивали с собой.
Статус Великой головоломки вышел за рамки замкнутого мира математики. В 1958 году Великая теорема Ферма пробралась кроме того в легенду о Фаусте. В сборнике «Как иметь дело с сатаной» была издана новелла Артура Порджеса «Саймон и Дьявол Флэгг». В ней сатана обращается к доктору математических наук Саймону Флэггу с предложением задать ему, сатане, какой-нибудь вопрос. В случае если сатане удастся отыскать ответ за двадцать четыре часа, то он приобретает душу Саймона. При неудачи сатана обязуется уплатить Саймону 100000 долларов. Саймон задает сатане вопрос: «Верна ли Великая теорема Ферма?» Сатана исчезает и носится по свету, собирая по крохам все успехи математики. На следующий сутки он возвращается и признает свое поражение: «Вы победили, Саймон, — сообщил сатана, почтительно глядя на доктора наук. — Кроме того мне не под силу выучить всю математику, которая нужна для решения столь тяжёлой задачи за столь маленькое время. Чем глубже я погружаюсь в проблему, тем тяжелее она делается. Неединственное разложение на множители, совершенные числа… Да что напрасно сказать! Понимаете, — согласился сатана, — кроме того самые лучшие математики на других планетах, а они, обязан вам сообщить, намного опередили ваших, не решили ее. Забрать хотя бы того парня на Сатурне, что весьма похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так кроме того он не справился с данной задачей».

Глава 3. Позор математики

Математика — не церемониальный марш по гладкой дороге, а путешествие по незнакомой местности, где исследователи часто рискуют заблудиться. Строгость должна стать указанием для историка о том, что данная местность нанесена на карту, а настоящие исследователи отправились дальше.
У.С. Энглин

«С того времени, как я еще мальчиком в первый раз столкнулся с Великой теоремой Ферма, она стала моим увлечением на всегда, — вспоминает Эндрю Уайлс, и его дрогнувший голос выдает тот трепет, с которым он относится к данной задаче. — Я понял, что эта неприятность оставалась нерешенной в течении трех столетий. Не думаю, дабы многие из моих школьных друзей подхватили математическую лихорадку, исходя из этого я не стал обсуждать проблему Ферма с моими одногодками. Но мой преподаватель математики сам занимался изучениями, и он дал мне книгу по теории чисел, из которой я почерпнул кое-какие указания относительно того, как приступить к решению проблемы. В первую очередь я решил (и принял это в качестве исходной догадки), что Ферма не имел возможности знать намного больше математики, чем я. И я постарался отыскать его утерянное подтверждение, применяя те разделы математики, каковые имел возможность применять он сам».
Уайлс был наивным ребенком, преисполненным честолюбивых планов, который грезил достигнуть успеха там, где потерпели неудачу поколения математиков. Кому-нибудь другому такое намерение имело возможность бы показаться глупой мечтой, но юный Эндрю был совсем прав, полагая, что он, двенадцатилетний школьник, живущий в XX веке, знает математику в никак не меньшем объеме, чем Пьер де Ферма — гений, живший в XVII веке. В своей наивности он вправду имел возможность наткнуться на подтверждение, которое пропустили Другие, более искушенные, математики.
Но, не обращая внимания на целый энтузиазм Эндрю, все его попытки доказать Великую теорему Ферма неизменно оканчивались неудачей.
Изрядно поломав голову и подробнейшим образом изучив школьные книжки, он не сумел добиться ничего. По окончании года бесплодных поисков Эндрю решил поменять стратегию и постараться извлечь что-нибудь нужное для себя из неточностей известных математиков. История Великой теоремы Ферма была очень романтичной. Большое количество людей думали над ней, и несколько великий великий математик в прошлом пробовал доказать ее и потерпел неудачу, отчего Великая неприятность становилась все громадным вызовом и все большей тайной. «Многие математики XVIII и XIX столетий. пробовали самыми разными методами доказать Великую теорему Ферма, и я, мальчишка, решил изучить все эти способы и осознать, что делали великие математики прошлого».
Юный Уайлс принялся изучать способы всех, кто когда-либо делал важную попытку доказать Великую теорему Ферма. И начал он с изучения трудов одного из наиболее плодовитых математиков в истории, которому удалось осуществить первый прорыв в битве с Великой теоремой Ферма.

Математик-циклоп

Создание математики — занятие мучительное и загадочное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и великий математик бредет наощупь, создавая выкладки и опасаясь, что любой ход может увлечь движение рассуждений в совсем неверном направлении. Помимо этого, постоянно существует возможность того, что пути к доказательству по большому счету не существует. Сделав вывод, что некоторое утверждение истинно, великий математик может годами пробовать доказать его, не смотря на то, что в конечном итоге это утверждение ложно. По существу, великий математик в этом случае пробует доказать неосуществимое.
За всю историю математики только горстке математиков удалось избежать для того чтобы рода сомнений, каковые страшили их сотрудников. Быть может, наиболее известным из математиков, не ведающих упрёка и страха, был живший в XVIII веке математический гений Леонард Эйлер. Как раз ему удалось совершить первый большой прорыв к доказательству Великой теоремы Ферма. Эйлер владел столь немыслимой интуицией и таковой широкой памятью, что, по преданию, имел возможность держать в голове целый количество создаваемых вычислений, не прикасаясь пером к бумаге. Вся Европа именовала его «прирожденным аналитиком», а французский академик Франсуа Араго сообщил о нем: «Эйлер вычислял без видимых упрочнений, как люди дышат либо как орлы парят в поднебесье».
Леонард Эйлер появился в Базеле в 1705 году в семье кальвинистского пастора Пауля Эйлера. Не смотря на то, что юный Эйлер показал недюжинный математический талант, его папа сделал вывод, что сын обязан изучать теологию, и готовил ему церковную карьеру. Леонард повиновался отцовской воле и начал изучать древнееврейский язык и теологию в Базельском университете.
К счастью для Эйлера, Базель был отчизной известного клана Бернулли. Бернулли имели возможность бы с полным основанием претендовать на звание самого математического рода: восемь представителей семьи Бернулли принадлежали к числу самых выдающихся умов Европы в течении всего лишь трех поколений. Говорили, что семья Бернулли стала для математики тем же, чем семья Баха была для музыки. Слава рода Бернулли распространилась за пределы математического сообщества, и одна легенда ярко рисует «профиль» семейства. в один раз Даниил Бернулли путешествовал по Европе и вступил в беседу с незнакомцем. Спустя какое-то время он робко представился своему собеседнику: «Я — Даниил Бернулли». «А я, — саркастически ответил тот, — Исаак Ньютон». Даниил с радостью вспоминал данный случай пара раз, считая его самым искренним признанием своих заслуг, которое ему когда-либо довелось приобретать.
Николай и Даниил Бернулли были родными приятелями Леонарда Эйлера, и они первыми осознали, что на их глазах происходит превращение блестящего математика в самого обыкновенного теолога. Они обратились к Паулю Эйлеру и упросили его дать Леонарду оставить теологию для чисел. Эйлер-старший сам в прошлом изучал математику у старшего Бернулли, Якоба, и испытывал к семье Бернулли глубочайшее почтение. С большой неохотой Пауль Эйлер был должен признать, что его сын рожден не для молитв, а для вычислений.
ма математиков считали любителями жонглировать числами, но к началу XVIII века их уже разглядывали как опытных «решателей задач». Культура чисел быстро изменилась, и случилось это благодаря сэру Исааку Ньютону и его научным итогам.
Ньютон полагал, что математики только впустую тратят время, поддразнивая друг друга безлюдными и никчемными задачами-головоломками. Вместо этого он вознамерился использовать математику к физическому миру и вычислять все, что лишь возможно, — от орбит планет до траекторий пушечных ядер. К тому времени, в то время, когда Ньютон погиб (это случилось в 1727 году), в Европе случилась научная революция. В тот же год Эйлер опубликовал свою первую работу. И не смотря на то, что она содержала красивые и свежие математические идеи, ее основная цель пребывала в описании решения одной технической неприятности, которая связана с постановкой мачт на парусных судах.
Европейские державы не были заинтересованы в применении математики для изучения эзотерических и абстрактных понятий; математика была им нужна для решения практических неприятностей, и правительства состязались в привлечении к себе на работу лучших умов. Эйлер начал свою математическую карьеру в Российской Федерации, после этого его пригласил в Берлинскую академию король Пруссии Фридрих Великий. В царствование Екатерины Великой Эйлер возвратился в Россию, где он и совершил последние годы жизни. За годы своей деятельности Эйлер решил множество задач из самых разных областей — от навигации до финансов, от акустики до ирригации. Практический мир решения насущных неприятностей не притупил способности в математике Эйлера. Напротив, для решения каждой новой неприятности Эйлер изобретал новый остроумный математический подход. Столь «односторонняя» направленность его ума приводила к тому, что в другой сутки Эйлеру случалось писать по паре работ. Говорят, что между первым и вторым приглашением к обеденному столу Эйлер как-то раз постарался выполнить вычисления, заслуживающие публикации. Эйлер не терял ни 60 секунд. Укачивая одной рукой младенца в колыбели, он другой рукой набрасывал подтверждение теоремы.
Одним из величайших достижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления. Отличительная особенность эйлеровских методов пребывала в том, что они предназначались для решения проблем, казавшихся неразрешимыми. Одной из таких неприятностей было высокоточное предсказание фаз Луны — информация о фазах Луны имела крайне важное значение для составления таблиц, нужных для мореплавания. Еще Ньютон продемонстрировал, что возможно относительно легко предвещать орбиту одного тела, обращающегося около другого, но при Луны обстановка не столь несложна.
Луна обращается около Земли, но третье тело — Солнце — значительно усложняет картину. Луна и Земля притягивают друг друга, а Солнце раздражает положение Земли и сталкивает Луну с ее совершенной орбиты около Земли. Уравнения разрешали обрисовать Луны и поведение Земли, но математики XVIII века не умели учитывать в своих вычислениях влияние третьего тела. Кроме того сейчас нереально угадать, как будет вести себя правильное решение данной задачи (класс таких задач именуется «задачей трех тел»). Эйлер осознал, что мореплавателям нет необходимости знать фазу Луны с полной точностью — достаточно таковой точности, которая разрешает выяснить положение судна с точностью до нескольких морских миль. И он создал рецепт, разрешающий приобретать не совершенное, а достаточно правильное решение. Таковой рецепт, именуемый методом, дает возможность приобрести сперва очень приближенное, неотёсанное решение. После этого это решение возможно ввести в качестве данных в тот же метод и взять уже более правильное решение. Со своей стороны, уточненное решение, в случае если его кроме этого ввести в метод, порождает еще более правильное решение, и т. д. По окончании ста либо около того итераций Эйлер взял возможность выяснить положение Луны с точностью, достаточной для потребностей мореплавания. Свой метод Эйлер представил английскому Адмиралтейству и взял приз в триста фунтов.
Эйлер заслужил репутацию человека, талантливого решить любую поставленную ему задачу, причем не только математическую. В бытность свою при дворе Екатерины Великой он встретил великого французского философа Дени Дидро. Тот был уверенным атеистом и пробовал обратить в атеизм представителей русской знати. Разгневанная этим Екатерина обратилась к Эйлеру прося пресечь деятельность французского безбожника.
Эйлер поразмыслил над просьбой императрицы и сказал, что располагает алгебраическим доказательством существования Всевышнего. Екатерина Великая пригласила Эйлера и Дидро во дворец и собрала на теологический спор всех придворных. Эйлер поднялся перед аудиторией и заявил:

«Сир! (a + bn)/n = x, следовательно Всевышний существует. Что Вы имеете возразить?»

Дидро не был силен в алгебре и не имел возможности ничего возразить величайшему математику Европы. Ему оставалось лишь молчать. Потерпев унизительное поражение, он покинул Петербург и возвратился в Париж. Эйлер же на какое-то время возвратился к занятиям теологией и опубликовал еще пара шутливых доказательств относительно природы Господа человеческого духа и Бога.
Более «земная» задача, привлекшая внимание Эйлера, любителя головоломных неприятностей, связана с прусским городом Кёнигсбергом (сейчас — российский город Калининград). Город стоит на берегах реки Прегили и складывается из четырех частей, соединенных между собой семью мостами. Замысел города схематически изображен на рис. 7. Кое-какие из любопытных обитателей Кенигсберга заинтересовались, возможно ли обойти все семь мостов, не переходя ни по одному из них два раза. Кое-кто из жителей Кенигсберга постарался проложить разные маршруты, но ничего хорошего из этого не вышло. Эйлеру кроме этого не удалось обойти все семь кёнигсбергских мостов, побывав на каждом лишь один раз, но он сумел растолковать, из-за чего сделать это нереально.

Рис. 7. Река Прегиль делит Кёнигсберг на четыре несвязанные части A, B, C и D. Разные части города соединены между собой семью мостами. Возможно ли обойти все семь мостов побывав на каждом только один раз?

Рис. 8. Упрощенная схема семи кёнигсбергских мостов

Эйлер забрал замысел города и заменил его упрощенной схемой, на которой части города изображены точками (узлами), а мосты — линиями (ребрами), как на рис. 8. После этого Эйлер начал рассуждать так. Дабы существовал маршрут, разрешающий обойти ровно по одному разу все мосты, любая точка на схеме обязана принадлежать четному числу линий. Это связано с тем, что в середине обхода путешественник, проходя какую-то из частей города, обязан войти в нее по одному мосту, а выйти — По другому. Из этого правила существуют только два исключения: в то время, когда путешественник начинает либо завершает обход. В начале обхода путешественник покидает некую часть города, и для выхода из нее нужен лишь один-единственный мост. В случае если обход начинается и заканчивается в разных частях города, то число мостов, ведущих к каждой из них нечетно. Но в случае если обход начинается и заканчивается в одной и той же части города, то соответствующая ей точка на схеме, как и все другие точки, обязана принадлежать четному числу линий (т. е. эта часть города должна быть соединена с другими частями четным числом мостов).
Так, заключил Эйлер, какой бы ни была сеть мостов, обойти все мосты, побывав на каждом по одному и лишь одному разу, возможно лишь в том случае, если все части города соединены с другими четным числом мостов либо в случае если ровно две части города соединены с другими частями нечетным числом мостов. В Кенигсберге город подразделяется всего на четыре части, — и все они соединены с другими частями нечетным числом мостов. На схеме Кенигсберга три точки принадлежат трем линиям, а одна — пяти линиям. Тем самым Эйлер не только сумел растолковать, из-за чего все семь кёнигсбергских мостов нереально обойти, побывав на каждом только один раз, но и придумал правило, применимое к любой сети мостов в любом городе мира. Рассуждения Эйлера отличаются превосходной красотой. По-видимому, для того чтобы сорта логические задачи Эйлер и обожал решать за обедом.
Задача о семи кёнигсбергских мостах принадлежит к числу так называемых задачах о графах в прикладной математике. Именно она побудила Эйлера к рассмотрению более абстрактных графов. На протяжении своих изучений Эйлер открыл фундаментальную истину, относящуюся ко всем графам, — так именуемую формулу Эйлера для графов, которую ему удалось доказать за пара логических шагов. Формула Эйлера для графов высказывает незыблемое соотношение между тремя элементами любой графа:

V — R + L = 1,

где
V — число вершин (узлов, либо пересечений) в графе,
R — число линий (ребер) в графе,
L — число замкнутых областей в графе.
Так, по утверждению Эйлера, в случае если к числу вершин любого графа прибавить число замкнутых областей и вычесть число его ребер — итог постоянно окажется равен единице. К примеру, все графы на рис. 9 удовлетворяют формуле Эйлера.

Вершины  = 4

Области = 3

Линии = 6

Вершины  = 6

Области = 1

Линии = 6

Вершины  = 5

Области = 10

Линии= 6

Рис. 9. Разные графы, удовлетворяющие формуле Эйлера

Рис. 10. Эйлер доказал свою формулу для графов, показав, что она выполняется для несложного графа, а после этого продемонстрировав, что формула остается верной при любых «дополнениях» к единственной вершине

Возможно проверить формулу Эйлера на целой серии графов, и всегда она оказывается верной; появляется искушение высказать предположение, что формула Эйлера верна для всех графов. И не смотря на то, что таковой проверки было бы достаточно для физической теории, для обоснования математической теории ее совсем не хватает. Единственный метод продемонстрировать, что формула Эйлера остается в силе для любого мыслимого графа, — выстроить безукоризненное с позиций логики подтверждение. Как раз так и поступил Эйлер.
Свое подтверждение Эйлер начал с несложного из графов — с графа, складывающегося из одной единственной вершины (рис. 10а). Ясно, что для для того чтобы графа формула Эйлера верна: имеется всего одна вершина, областей и линий нет, исходя из этого
V + R — L = 1 + 0–0 = 1.
После этого Эйлер решил вопрос о том, что случится в том случае, если он что-нибудь добавит к этому несложному графу. Любое добавление к нему требует добавления линии. Каждая линия может соединять существующую вершину или с самой собой, или с какой-нибудь новой вершиной.
Во-первых, рассмотрим случай, в то время, когда дополнительная линия соединяет существующую вершину с самой собой. Как видно из рис. 10б, при добавлении линии в этом случае добавляется кроме этого новая область. Следовательно, формула Эйлера для графов остается в силе, поскольку добавление одной области (+) компенсируется добавлением одной линии (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера для графов кроме этого останется в силе, поскольку любая новая линия порождает новую область.
Во-вторых, рассмотрим, что случится, в случае если дополнительная линия соединит существующую вершину с новой вершиной, как на рис. 10в. И в этом случае формула Эйлера остается в силе, поскольку новая вершина (+) компенсирует новую линию (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера кроме этого остается в силе, потому, что любая дополнительная линия разглядываемого типа заканчивается в новой вершине.
Вот и все, что требовалось Эйлеру для его доказательства. Он рассуждал так. Формула верна для несложного из всех графов — одной-единственной вершины. Все остальные графы, сколь бы сложными они ни были, смогут быть выстроены из несложного методом прибавления линий — по одной линии за один раз. Всегда при добавлении к графу новой линии формула остается верной, по причине того, что вместе с линией добавляется или новая вершина, или новая область, и тем самым компенсируется добавление линии. Эйлер создал несложную, но замечательную стратегию. Он доказал, что его формула верна для несложного графа, складывающегося из одной-единственной вершины, и что каждая операция, приводящая к усложнению графа, не нарушает формулу для графов. Следовательно, формула верна для нескончаемого множества всех вероятных графов.
В первый раз столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, должно быть, понадеялся на то, что ему удастся отыскать подтверждение, если он будет придерживаться подобной стратегии. Великая теорема Ферма и формула Эйлера для графов уходят своими корнями в очень разные области математики, но одна особенность у них была общей: они обе что-то утверждали довольно вечно многих объектов. Формула Эйлера говорит, что для вечно многих графов, каковые лишь существуют на свете, число вершин плюс число областей минус число линий неизменно равняется единице. Великая теорема Ферма говорит, что вечно большое количество уравнений не допускают решения в целых числах. Отметим, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение

xn + yn = zn, где n — любое целое число большее 2,

не допускает решения в целых числах.
Это уравнение в конечном итоге представляет собой нескончаемую систему уравнений
x3 + y3 = z3,
x4 + y4 = z4,
x5 + y5 = z5,
x6 + y6 = z6,
x7 + y7 = z7,
. . . . . .
Эйлер постарался узнать, запрещено ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а после этого экстраполировать полученный итог на все остальные уравнения (совершенно верно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).
Первый ход к осуществлению задуманного Эйлер совершил, в то время, когда нашёл ключ к доказательству в кратких записях на полях «Математики» Диофанта. Не смотря на то, что Ферма не покинул развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Математики» написал в зашифрованном виде подтверждение для случая n=4, включив его в решение совсем другой задачи. Это были самые подробные вычисления, каковые Ферма когда-либо доверил бумаге, но однако подробности всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а напоследок доказательства Ферма ссылается на то, что недочёт времени и места не разрешают ему дать более полное объяснение. Не обращая внимания на отсутствие многих серьёзных подробностей в беглых заметках Ферма, в них четко просматривался один из способов доказательства от противного, узнаваемый называющиеся способа нескончаемого спуска.
Дабы доказать, что уравнение x4 + y4 = z4 не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах
x = X1, y = Y1, z = Z1.
При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма продемонстрировал, что если бы такое гипотетическое решение вправду существовало, то существовало бы меньшее решение (X2, Y2, Z2). Разглядывая это новое решение, Ферма смог продемонстрировать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X3, Y3, Z3) и т. д.
Ферма нашёл нисходящую лестницу решений, которая теоретически имела возможность бы длиться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми хорошими (так называемыми натуральными) числами, исходя из этого нескончаемая нисходящая лестница неосуществима, по причине того, что должно быть мельчайшее целочисленное решение. Полученное несоответствие обосновывает, что начальное предположение о существовании решения (X1, Y1, Z1) было фальшивым. Итак, применяя способ нескончаемого спуска, Ферма доказал, что при n=4 уравнение xn + yn = zn не имеет возможности иметь целочисленных решений.
Эйлер постарался воспользоваться способом нескончаемого спуска в качестве исходного пункта при построении неспециализированного доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он желал взять подтверждение для всех n впредь до бесконечности, но в первую очередь он желал «опуститься на одну ступень» и взять подтверждение при n=3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сказал, что ему удалось приспособить способ нескончаемого спуска и удачно доказать Великую теорему Ферма для случая n=3. Так через сто лет по окончании смерти Ферма в первый раз удалось сделать первый шаг на встречу к решению его неприятности.
Дабы распространить предложенное Ферма подтверждение со случая n=4 на случай n=3, Эйлеру было нужно ввести в игру достаточно причудливое понятие так именуемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Сказать о новых числах, что они были «открыты» достаточно необычно, но чувство необычности появляется в основном вследствие того что мы так привыкаем к неизменно и обширно применяемым числам, что забываем о временах, в то время, когда кое-какие из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.
История теории чисел начинается с обычных чисел, применяемых для счета — 1,2,3…, — известных называющиеся натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения несложных целых величин, таких, как овцы либо золотые монеты, дабы определить, сколько всего таких величин — их общее число кроме этого имеется целое число. Наровне со сложением еще одна несложная операция, умножение, создаваемая над целыми числами, кроме этого порождает другие целые числа. Но операция деления ведет к достаточно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы приобретаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае есть не целое число, а дробь.
Деление — несложная операция, делаемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима обстановка, в которой нет ответа на вопрос, чему равен итог простой операции, создаваемой над целыми числами. Необходимость существования ответа именуется полнотой. Не будь дробей, кое-какие вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики высказывают это событие, говоря, что дроби нужны для полноты.
Как раз необходимость полноты заставила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики увидели, что в случае если 3 вычесть из 5, то окажется 2, а 5 вычесть из 3 не так легко. Ответ не мог быть взят в натуральных числах и осознать его возможно, лишь в случае если ввести понятие отрицательного числа. Кое-какие математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, возможно подержать в руке одну монету либо кроме того полмонеты, но забрать в руку «минус одну» монету решительно нереально.
Древние греки были обуяны рвением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что имое в виде дроби, но данный новый тип числа был нужен, дабы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел нужно присоединить еще одну колонию.
К наступлению ренесанса математики начали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа возможно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа размешались на числовой оси через равные промежутки, хорошие простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби размешались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.

Рис. 11. Все числа возможно находиться на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны

Числовая ось наводила на идея о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — по крайней мере на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке опять начались неприятности. Итальянский великий математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из разных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.
й корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает хорошее, например, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же появляется другой вопрос: «Чему равен квадратный[6] Думается, что данный вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. В это же время полнота требует, дабы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.
Дабы ответить на данный вопрос, Бомбелли было нужно ввести новое число i, выяснив его легко как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — трусливая попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли движение ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при другом подходе задачей, индийские математики выяснили число –1 как ответ на вопрос: «Что окажется, в случае если от нуля забрать единицу?». Число –1 думается более приемлемым лишь вследствие того что из повседневного опыта нам знакомо подобное понятие «долга», тогда как в реальности ничто не подкрепляло бы понятие мнимого числа. Германский великий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее красивое описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, практически амфибия между небытием и бытиём».
Коль скоро мы выяснили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i, поскольку оно равняется сумме i плюс i (и квадратному корню из –4). Подобно, должно существовать и число i/2, так как оно получается при делении i на 2. Делая простые операции, возможно взять мнимый эквивалент каждого так именуемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Неприятность, которая сейчас появляется, содержится в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили появившийся кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как продемонстрировано на рис. 12. Числа прекратили занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые либо чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (к примеру, 1+2i) именуются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.

Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости

i, математикам не требуется изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т. е. другому комплексному числу. В противном случае говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, нужный для завершения математики.
Не смотря на то, что квадратные корни из отрицательных чисел стали называться мнимых чисел, математики считают число i никак не более абстрактным, чем отрицательное либо любое натуральное число. Помимо этого, физики поняли, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальности. Посредством нехитрых манипуляций мнимые числа выясняются совершенным средством анализа естественного колебательного перемещения объектов, к примеру, маятника. Такое колебательное перемещение, именуемое на техническом языке синусоидальным колебанием, обширно распространено в природе, и исходя из этого мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наши дни инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики вычисляют разные квантовомеханические эффекты посредством осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.
В чистой математике мнимые числа применяют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа практически добавили новое измерение к математике, и Эйлер сохранял надежду, что ему удастся применять эту дополнительную степень свободы в отыскивании доказательства Великой теоремы Ферма.
И до Эйлера кое-какие математики уже пробовали приспособить способ нескончаемого спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n, хороших от 4, но всегда попытка распространить способ приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И лишь Эйлер продемонстрировал, что, применяя число i, возможно заткнуть все дыры в доказательстве и вынудить способ нескончаемого спуска работать при n=3.
Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям впредь до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был должен признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый важный прорыв в «круговой обороне» тяжёлой математической неприятности в мире.
Не обескураженный постигшей его неудачей, Эйлер создавал блестящие математические способы до конца своей жизни, не обращая внимания на то, что последние годы его жизни были омрачены полной слепотой. Эйлер начал слепнуть в 1735 году, в то время, когда Академия в Париже внесла предложение премию за решение одной астрономической неприятности. Эта неприятность была столь тяжела, что математическое сообщество обратилось к Академии прося дать на решение пара месяцев, но Эйлеру отсрочка не была нужна. Задача так захватила его, что он, работая ночи и дни напролет, решил ее за трое дней и заслуженно стал лауреатом премии. Но напряженнейшая работа в нехороших условиях стоила Эйлеру, которому тогда чуть исполнилось двадцать лет, утраты одного глаза. Данный физический недочёт четко виден на многих портретах Эйлера, а также и на том, который помещен в начале данной главы.
По совету Жана Лерона д’Аламбера Эйлера при дворе Фридриха Великого поменял Жозеф Луи Лагранж, по поводу чего прусский король позднее увидел: «Вашим рекомендациям и заботам я обязан тому, что заменил математика, слепого на один глаз, математиком, зрячим на глаза, что особенно окажется по вкусу участникам моей Академии по разряду анатомии». По возвращении Эйлера в Россию Екатерина Великая приветствовала своего «математического циклопа».
Утрата одного глаза имела небольшой «плюс»: как заметил Эйлер, «у меня будет меньше шансов отвлекаться». Сорок лет спустя, в то время, когда Эйлеру было уже шестьдесят, его состояние существенно ухудшилось: катаракта на здоровом глазе означала, что он обречен на полную слепоту. Эйлер решил не поддаваться начал и болезни тренироваться — зажмурив глаз, который видел все хуже и хуже, начал учиться писать вслепую, дабы овладеть этим мастерством прежде, чем свет навсегда померкнет для него. Через пара недель Эйлер ослеп. Тренировка была очень кстати, но через пара месяцев почерк Эйлера стал неразборчивым, и его сын Альберт взял на себя роль личного секретаря отца.
в течении следующих семнадцати лет Эйлер продолжал деятельно заниматься математикой. Более того, его производительность возросла, очень прежде. Громадный интеллект Эйлера разрешал ему манипулировать понятиями, не фиксируя их на бумаге, а замечательная память являлась полноценной заменой библиотеки. Коллеги кроме того высказывали предположение, что наступление слепоты расширило горизонты его воображения. Необходимо заметить, что вычисления положений Луны были выполнены Эйлером уже по окончании наступления слепоты. Для европейских монархов составленные Эйлером таблицы были самым полезным математическим достижением, и решением проблемы, над которой трудились величайшие математики Европы, включая Ньютона.
В 1776 году Эйлеру была сделана операция по удалению катаракты, и на пара дней зрение, казалось, восстановилось. Но в больной глаз была занесена зараза, и Эйлер опять погрузился во тьму. Не теряя бодрости духа, он работал до 18 сентября 1783 года, в то время, когда случился роковой инсульт . По словам философа и математика маркиза де Кондорсэ, «Эйлер прекратил жить и вычислять».

Медленным шагом

И через сто лет по окончании смерти Эйлера существовали доказательства лишь в двух частных случаях Великой теоремы Ферма. Сам Ферма дал математикам фору, покинув им подтверждение того, что уравнение
x4 + y4 = z4
не имеет решений в целых числах. Эйлер применяя предложенный Ферма способ нескончаемого спуска, доказал, что уравнение
x3 + y3 = z3
кроме этого не имеет решений в целых числах. По окончании Эйлера все еще оставалось нужно доказать, что нескончаемый комплект уравнений
x5 + y5 = z5,
x6 + y6 = z6,
x7 + y7 = z7,
x8 + y8 = z8,
x9 + y9 = z9,
. . . . . .
не имеет решений в целых числах. И не смотря на то, что математики продвигались поразительно медлительно, обстановка складывалась далеко не так не хорошо, как имело возможность бы показаться на первый взгляд. Оказалось, что подтверждение для случая n=4 остается в силе при n=8, 12, 16, 20…. Дело в том, что любое число, представимое в виде 8-й (и 12-й, 16-й, 20-й…) степени некоторого числа, представимо и в виде 4-й степени какого-либо другого целого числа. К примеру, число 256 равняется 28, но оно равняется и 44. Следовательно, любое подтверждение, которое «работает» для 4-й степени, остается в силе для 8-й и каждый степени, кратной 4. На базе того же принципа возможно утверждать, что эйлеровское подтверждение для n=3 машинально переносится на n=6, 9, 12, 15…. Тем самым Великая теорема Ферма потеряла свой неприступный вид и была верной сходу для многих чисел n.
Особенно полезным было подтверждение при n=3, так как число 3 — пример так именуемого несложного числа. Как мы уже растолковывали, простое число владеет тем отличительным свойством, что оно не кратно ни одному целому числу, не считая 1 и самого себя. Кроме уже названного числа 3 несложными кроме этого являются числа 5,7,11,13… Все остальные числа кратны несложным и именуются составными числами. Те, кто занимается теорией чисел, считают простые числа наиболее ответственными вследствие того что те являются как бы атомы чисел. Простые числа — «кирпичики», из которых выстроены все остальные числа, потому, что те возможно взять как произведения разных комбинаций несложных чисел. Казалось бы, это событие открывает путь к решению проблемы Ферма. Дабы доказать Великую теорему Ферма при всех значениях n, достаточно доказать ее для несложных значений n. В любой другой ситуации числа n кратны несложным числам, и подтверждение направляться из уже рассмотренных случаев.
Интуитивно это очень упрощает проблему, поскольку позволяет исключить из рассмотрения все значения n, каковые не являются несложными числами. Быстро уменьшается число уравнений. К примеру, при значениях n до 20 подтверждение направляться совершить лишь для шести уравнений:
x5 + y5 = z5,
x7 + y7 = z7,
x11 + y11 = z11,
x13 + y13 = z13,
x17 + y17 = z17,
x19 + y19 = z19.
Если бы кому-нибудь удалось доказать Великую теорему Ферма для одних только несложных значений n, то она была бы доказанной для всех значений n. Целых чисел вечно большое количество, простые же числа составляют только их малого долю. Быть может, теорема Ферма станет существенно проще, в случае если обосновывать ее лишь для несложных чисел?
е может служить арбитром истины в математике. Роль арбитра выполняет логика. Оказывается, возможно доказать, что список несложных чисел нескончаем. Следовательно, не обращая внимания на то, что мы можем исключить из рассмотрения большинство уравнений при составных значениях n, количество уравнений Ферма с несложными значениями n так же, как и прежде остается нескончаемым.
Подтверждение того, что несложных чисел вечно большое количество, восходит к Евклиду и принадлежит к числу классических рассуждений в математике. Евклид начинает с предположения о том, что список известных несложных чисел конечен, и обосновывает, что в данный список нужно будет вносить вечно большое количество дополнений. В действительности, предположим, что в конечный исходный список Евклида внесено N несложных чисел, каковые мы обозначим P1, P2, P3…, PN . Из них Евклид образует новое число QA , такое, что
QA = (P1·P2·P3·…·PN ) + 1.
Какое оно, новое число QA , — простое либо составное? Если оно простое, то нам удалось выстроить новое простое число, большее, чем любое простое число, указанное в исходном списке. Это означало бы, что исходный список не полон. Иначе, в случае если число QA составное, то оно должно без остатка делиться на какое-то из несложных чисел. Это простое число-делитель не может быть одним из чисел, включенных в исходный список, поскольку при делении на любое из уже перечисленных несложных чисел QA дает остаток, равный 1. Следовательно, делителем числа QA должно быть какое-то новое простое число, которое мы обозначим PN+1.
Итак, мы пришли к тому, что или QA само есть несложным числом, или делится на какое-то новое простое число PN+1. И в том, и в другом случае исходный перечень несложных чисел нужно дополнить. Включив наше новое простое число (QA либо PN+1) в список, мы можем повторить рассуждение и образовать новое число QB . Это новое число или будет еще одним новым несложным числом, или будет делиться на простое число PN+2, еще не включенное в наш список известных несложных чисел. Итогом этого рассуждения помогает заключение, в соответствии с которому сколь бы долгим ни был наш список несложных чисел, его неизменно возможно дополнить новым несложным числом. Следовательно, наш список ни при каких обстоятельствах не кончится — он нескончаем.
Но как возможно что-то, очевидно меньшее нескончаемой величины, кроме этого быть нескончаемым? Германский великий математик Давид Гильберт сообщил в один раз: «Бесконечность! Ни один вопрос не оказывал столь глубокого действия на человеческий дух, ни одна мысль не стимулировала столь плодотворно интеллект человека, и однако ни одно понятие не испытывает недостаток в прояснении так очень сильно, как понятие бесконечности». Дабы дать добро парадокс бесконечности, нужно выяснить, что направляться осознавать под бесконечностью. Георг Кантор, работавший над проблемой бесконечности наровне с Гильбертом, выяснил бесконечность как длину нескончаемого списка натуральных чисел (1,2,3,4…). По Кантору, все, что по величине сравнимо с длиной списка  натуральных чисел, кроме этого вечно.
Следуя этому определению, нам нужно будет признать, что множество четных натуральных чисел, которое интуитивно думается меньше, чем множество всех натуральных чисел, кроме этого вечно. Нетрудно доказать, что всех натуральных чисел столько же, сколько четных натуральных чисел, потому, что каждому натуральному числу возможно подобрать несколько — соответствующее четное число:

Коль скоро каждому элементу списка натуральных чисел возможно поставить в соответствие элемент списка четных чисел, то оба списка должны быть однообразной длины. Таковой способ сравнения ведет к некоторым необычным заключениям, а также к заключению о существовании вечно многих несложных чисел. Кантор был первым, кто занялся формальным анализом понятия бесконечности, и математическое сообщество подвергло его теорию множеств резкой критике за радикальное определение бесконечности, предложенное им. К концу творческого периода Кантора нападки на него стали принимать все более персональный темперамент и стали причиной серьёзной глубокой депрессии и душевной болезни Кантора. Его идеи взяли признание уже по окончании его смерти как единственно последовательное и действенное определение бесконечности. Воздавая должное заслугам Кантора, Гильберт сообщил: «Никто не имеет возможности изгнать нас из рая, который Кантор создал для нас».

Гильберту в собственности пример бесконечности, узнаваемый называющиеся «отель Гильберта» и наглядно иллюстрирующий необыкновенные свойства бесконечности. Данный гипотетический отель владеет отличительным показателем: число номеров в этом отеле равняется бесконечности. в один раз в гостиницу прибывает новый гость и к своему разочарованию определит, что, не обращая внимания на вечно много номеров, свободных мест нет. Гильберт, выступающий в роли портье, поразмыслив мало, уверяет нового гостя, что отыщет для него вольный номер. Он требует каждого постояльца переселиться в соседний номер: постояльца из номера 1 переселиться в номер 2, постояльца из номера 2 — переселиться в номер 3, и т. д. Любой из постояльцев, живших в гостинице, приобретает новый номер, а новый гость поселяется в освободившийся номер 1. Это говорит о том, что бесконечность плюс один равна бесконечности. [7]
На следующий вечер портье Гильберт столкнулся с значительно более тяжёлой проблемой. Как и незадолго до, отель был переполнен, в то время, когда прибыл вечно долгий лимузин, из которого высадилось вечно большое количество новых гостей. Но Гильберта это нисколько не смутило, и он лишь весело потирал руки при мысли о вечно многих квитанциях, каковые оплатят снова прибывшие. Всех, кто уже обосновался в гостинице, Гильберт попросил переселиться, выполняя следующее правило: жителя первого номера — во второй номер, жителя второго номера—в четвертый номер, и т. д., другими словами каждого постояльца Гильберт попросил перейти в новый номер с в два раза громадным «адресом». Все, кто жил в гостинице до прибытия новых гостей, остался в гостинице, но наряду с этим освободилось вечно большое количество номеров (все те, «адреса» которых нечетны), в которых находчивый портье расселил новых гостей. Данный пример говорит о том, что удвоенная бесконечность кроме этого равна бесконечности.
Быть может, отель Гильберта наведет кого-нибудь на идея, что все бесконечности одинаково громадны, равны друг другу, и что каждые разные бесконечности возможно втиснуть в номера одного и того же нескончаемого отеля, как это делал находчивый портье. Но в конечном итоге одни бесконечности больше других. К примеру, каждая попытка отыскать в несколько каждому рациональному числу иррациональное число так, дабы ни одно иррациональное число не осталось без своей рациональной пары, обязательно заканчивается неудачей. И вправду, возможно доказать, что нескончаемое множество иррациональных чисел больше нескончаемого множества рациональных чисел. Математикам было нужно создать целую систему названий и обозначений с нескончаемой шкалой бесконечностей, и манипулирование с этими понятиями — одна из наиболее острых неприятностей нашего времени.
Не смотря на то, что бесконечность количества несложных чисел навсегда уничтожила надежды на скорое подтверждение Великой теоремы Ферма, таковой большой запас несложных чисел понадобился, к примеру, в таких областях как шпионаж либо изучение жизни насекомых. Перед тем как мы возвратимся к повествованию о поиске доказательства Великой теоремы Ферма, уместно мало отвлечься и познакомиться с тем, как верно и неправильно употребляются простые числа.

* * *

Теория несложных чисел — одна из немногих областей чистой математики, каковые нашли яркое приложение в реальности, в частности в криптографии. Криптография занимается кодированием тайных посланий с таким расчетом, дабы декодировать их имел возможность лишь получатель, а перехватчик расшифровать бы их не имел возможности. Процесс кодирования требует применения ключа к шифру, и по традиции для дешифровки нужно снабдить получателя этим ключом. При таковой процедуре ключ — самое не сильный звено в цепи обеспечения безопасности. Во-первых, отправитель и получатель должны условиться о подробностях ключа, и обмен информацией на этом этапе сопряжен с определенным риском. В случае если сопернику удастся перехватить ключ при обмене информацией, то он сможет дешифровывать все последующие послания. Во-вторых, для поддержания безопасности ключи нужно систематично поменять, и при каждой замене ключа существует риск перехвата нового ключа соперником.
Неприятность ключа вращается около того факта, что использование ключа в одну сторону ведет к шифровке послания, а использование того же ключа в обратную сторону дешифрует послание — дешифровка производится столь же легко, как и шифровка. Но из опыта нам как мы знаем, что сейчас существуют многие ситуации, в то время, когда дешифровка значительно сложнее, чем шифровка: приготовить яичницу-болтунью несравненно легче, чем вернуть яичницу-болтунью в исходное состояние, поделив желтки и белки.
В 70-е годы XX века Уитфилд Диффи и Мартин Хеллман занялись поиском математического процесса, который было бы легко выполнить в одну сторону, но поразительно тяжело — в противоположную сторону. Таковой процесс дал бы совершенный ключ. К примеру, у меня имел возможность бы быть мой личный ключ из двух частей, и его шифровальную часть я имел возможность бы разместить в общедоступном месте. Затем кто угодно имел возможность бы отправлять мне зашифрованные послания, но дешифровальная часть ключа была бы известна лишь мне. И не смотря на то, что шифровальная часть ключа была бы доступна всем, к дешифровальной части она не имела бы никакого отношения.
В 1977 году Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман — несколько специалистов и математиков по компьютерам из Массачусеттского технологического университета — узнали, что простые числа являются совершенным базисом для процесса трудной дешифровки и лёгкой шифровки. Дабы изготовить мой личный персональный ключ, я имел возможность бы забрать два огромных несложных числа, каждое из которых содержит до 80 знаков, и, умножив одно число на другое, взять еще большее составное число. Все, что требуется для кодирования посланий, — это знать солидное составное число, в то время как для дешифровки послания нужно знать два исходных несложных числа, каковые мы перемножили, т. е. простые множители составного числа. Я могу позволить себе опубликовать солидное составное число — шифровальную половину ключа, и сохранить в тайне два несложных множителя — дешифровальную половину ключа. Крайне важно, что не смотря на то, что любому известно солидное составное число, разложить его на два несложных множителя очень тяжело.
Рассмотрим более простой пример. Предположим, что я выбрал и сказал всем желающим составное число 589, разрешающее каждому отправлять мне шифрованные послания. Два несложных множителя числа 589 я сохранил бы в тайне, исходя из этого расшифровать послания никто, не считая меня, не имеет возможности. Если бы кому-нибудь удалось отыскать два несложных множителя числа 589, то таковой человек кроме этого имел возможность дешифровывать направленные мне послания. Но сколь ни мало число 589, отыскать его простые множители не так-то легко. В этом случае на настольном компьютере в пара мин. возможно было бы понять, что простые множители числа 589 равны 31 и 19 (31·19 = 589), исходя из этого мой ключ не имел возможности бы обеспечивать безопасность переписки особенно долго.
Но если бы составное число, которое я опубликовал, содержало свыше сотни знаков, это делало бы поиск несложных множителей фактически неразрешимой задачей. Кроме того в случае если для разложения огромного составного числа (шифровального ключа) на два несложных множителя (дешифровального ключа) применять самые замечательные компьютеры, каковые лишь существуют в мире, то и тогда, дабы отыскать эти множители, пригодилось бы пара лет. Следовательно, дабы сорвать коварные замыслы иностранных шпионов, мне нужно всего лишь каждый год поменять ключ. Раз в год я довожу до общего сведения свое новое огромное составное число, и тогда каждый, кто захочет попытать счастья и расшифровать мои послания, будет должен приступать заново к разложению опубликованного числа на два несложных множителя.

* * *

Простые числа видятся и в мире живой природы. У периодических цикад, известных как Magicicada septendecim, самый долгий жизненный цикл из всех насекомых. Их жизнь начинается под землей, где личинки терпеливо сосут соки из корней деревьев. И только через 17 лет ожидания взрослые цикады появляются из-под земли, планируют в огромные рои и на какое-то время заполоняют все около. За много дней они спариваются, откладывают яйца, а после этого умирают.
Вопрос, который не давал биологам спокойствия, — из-за чего жизненный цикл у цикад таковой долгий? Имеет ли какое-нибудь значение для жизненного цикла то, что длительность его выражается несложным числом лет? Другой вид — Magicicada tredecim — роится через каждые 13 лет. Это наводит на идея, что длительность жизненного цикла, выражающаяся несложным числом лет, дает виду определенные эволюционные преимущества.
В соответствии с одной теории, у цикады имеется паразит, кроме этого владеющий долгим жизненным циклом. Цикада, конечно, пытается избавиться от паразита. В случае если паразит владеет жизненным циклом длительностью, скажем 2 года, то цикада пытается избежать жизненного цикла, длительность которого в годах делится на 2, так как в другом случае цикада, появляясь из-под земли, и паразит систематично виделись бы. Подобно, если бы паразит владел жизненным циклом длительностью 3 года, то цикада стремилась бы избегать жизненных циклов, длительность которых в годах выражалась числом, кратным 3. Следовательно, дабы избежать совпадений с паразитом, лучшей стратегией для цикады было бы иметь жизненный цикл, продолжающийся простое число лет. Так как ни одно целое число (не считая 1 и 17) не делит число 17, Magicicada septendecim весьма редко видится со своим паразитом. В случае если длительность жизненного цикла паразита образовывает 2 года, то цикада видится с ним лишь раз в 34 года, а вдруг длительность жизненного цикла паразита больше, к примеру, образовывает 16 лет, то его встреча с цикадой происходит только раз в 272 (= 16·17) года.
«Реванш» для паразита вероятен лишь в двух случаях: при его годичном жизненном цикле и при жизненном цикле длительностью 17 лет. Маловероятно, но, что паразит выживет в течении 17 своих поколений подряд, поскольку первым 16 поколениям будет не на ком паразитировать. Иначе, дабы достигнуть 17-летней длительности жизненного цикла, поколениям паразита нужно состояться в своей эволюции 16-летний жизненный цикл. Это означало бы, что на каком-то этапе эволюции цикада и паразит не виделись бы в течении 272 лет! И в том, и в другом случае большой жизненный цикл длительностью в простое число лет содействуют выживанию цикады.
Быть может, как раз этим и разъясняется, что пресловутый паразит так ни при каких обстоятельствах и не был отыскан! В гонке на выживание с цикадой паразит, по-видимому, неизменно увеличивал длительность своего жизненного цикла до тех пор, пока не наткнулся на 16-летний барьер. Затем паразит в течении 272 лет не имел возможности встретиться со своей жертвой и за это время вымер. В следствии показалась цикада с жизненным циклом длиной 17 лет. Необходимость в более продолжительном жизненном цикле для цикады отпала, потому, что паразит более не существовал.

Месье Леблан

К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой тяжёлой неприятности в теории чисел. По окончании прорыва, осуществленного Эйлером, не было ни мельчайшего продвижения, пока сенсационное заявление одной юной француженки не вдохнуло новые надежды. Поиски доказательства Великой теоремы Ферма возобновились с новой силой. Софи Жермен выпало жить в эру предрассудков и шовинизма, и чтобы иметь возможность заниматься математикой, ей было нужно принять псевдоним, работать в страшных условиях и творить в интеллектуальной изоляции.
в течении столетий занятия математикой считались неженским делом, но, не обращая внимания на дискриминацию, нашлось пара дам-математиков, выступивших против сложившихся обычаев и порядков и запечатлевших свои имена в анналах математики. Первой дамой, покинувшей след в истории математики, была Теано (VI век до н. э.), обучавшаяся у Пифагора, ставшая одним из его самых родных последователей и вышедшая за него замуж. Пифагора время от времени именуют «философом-феминистом» за то, что он всячески поощрял дам-ученых. Теано была только одной из двадцати восьми сестер в пифагорейском братстве.
В более последователи времена Сократа и поздние сторонники и Платона приглашали дам в свои школы, но лишь в IV веке н. э. дама-великий математик основала собственную влиятельную школу. Ипатия, дочь доктора математических наук Александрийской академии, прославилась на целый узнаваемый тогда мир умением и своими диспутами решать разные задачи. Математики, в течении продолжительных месяцев разламывавшие головы над решением какой-нибудь задачи, обращались к Ипатии прося о помощи, и та редко разочаровывала своих поклонников. Математика и процесс логического доказательства полностью захватили ее, и на вопрос, из-за чего она не выходит замуж, Ипатия отвечала, что обручена с Истиной. Как раз бесконечная вера Ипатии в человеческий разум стала обстоятельством ее смерти, в то время, когда Кирилл, патриарх Александрийский, начал преследовать философов, математиков и естествоиспытателей, которых он именовал еретиками. Историк Эдуард Гиббон покинул броское описание событий, случившихся по окончании того, как Кирилл организовал заговор против Ипатии и натравил на нее толпу.
«В тот роковой сутки, в священный сезон Лента, Ипатию достали из колесницы, на которой она ехала, подели донага, поволокли к церкви и безжалостно разрубили ее на части руками толпы и Петра Чтеца диких и бессердечных фанатиков; ее плоть содрали с костей острыми устричными раковинами, а ее трепещущие конечности были сожжены на костре».
По окончании смерти Ипатии в математике наступил период застоя. Вторая дама, вынудившая сказать о себе как о математике, показалась лишь по окончании Восстановления. Мария Аньези появилась в Милане в 1718 году. Как и Ипатия, она была дочерью математика. Аньези была признана одним из лучших математиков Европы. Особенную известность ей принесли труды, посвященные касательным к кривым. В Италии кривые назывались «versiera» (от латинского «поворачивать»), но это же слово считалось сокращением слова «avversiera» — «супруга дьявола». Кривые, изученные Аньези (versiera Agnesi) были неправильно переведены на английский как «колдунья Аньези», и со временем Марию Аньези стали величать так же.
Не смотря на то, что математики по всей Европе признавали математический талант Аньези, многие академические учреждения, в частности Французская Академия, отказались дать ей пост, разрешающий заниматься изучениями. Политика недопущения дам на академические посты продолжалась и в XX веке, в то время, когда Эмми Нётер, о которой Эйнштейн отзывался как о «наиболее большом творческом математическом гении из показавшихся с того времени, как началось высшее образование для дам», отказали в предоставлении права чтения лекций в Гёттингенском университете. Большая часть докторов наук рассуждало так: «Как возможно допустить, дабы дама стала приват-доцентом? Так как если она станет приват-доцентом, то со временем может стать членом и профессором университетского сената… Что поразмыслят наши воины, в то время, когда возвратятся в университет и определят, что должны будут обучаться у ног дамы?» Давид Гильберт, наставник и друг Эмми Нётер, возразил на это так: «Господа! Я не осознаю, из-за чего пол кандидата мешает принятию ее в качестве приват-доцента. В итоге университетский сенат — не мужские бани».
Позднее у Эдмунда Ландау, коллеги Нётер, задали вопрос, вправду ли Нётер великая дама-математик, на что он ответил: «Я могу поклясться, что она великий математик, но в том, что она дама, я поклясться не могу».
Кроме того, что Эмми Нётер равно как и дамы-математики прошлых столетий, страдала от дискриминации, она имела с ними еще большое количество неспециализированного: к примеру, была дочерью математика. По большому счету, многие математики происходили из математических семейств, и это породило лишенные всякого основания слухи об особенном математическом гене, но среди дам-математиков процент уроженцев математических семей особенно велик. Объяснение содержится, по-видимому, в том, что кроме того самые одаренные дамы не решились бы изучать математику либо не приобрели бы поддержку своим намерениям, если бы их семья не была бы причастна науке. Подобно Ипатии, Аньези и практически всем других дам-математиков, Нётер не была замужем. Столь массовое безбрачие среди дам-математиков разъясняется тем, что выбор дамой профессии математика встречал неодобрительное отношение со стороны общества, и только немногие мужчины осмеливались предложить сердце и руку дамам с таковой «вызывающей большие сомнения» репутацией. Исключением из неспециализированного правила стала великая дама-великий математик из России Софья Васильевна Ковалевская. Она вступила в фиктивный брак с палеонтологом Владимиром Онуфриевичем Ковалевским. Для обоих брак был спасением, разрешив им вырваться из-под опеки семей и сосредоточиться на научных изучениях. Что же касается Ковалевской, то путешествовать в одиночку ей было значительно эргономичнее под видом респектабельной замужней женщины.
Из всех государств-членов Евросоюза наиболее непримиримую позицию по отношению к грамотным дамам занимала Франция, провозгласившая, что математика — неподходящее занятие для дам и лежит за пределами их умственных свойств! И не смотря на то, что салоны Парижа господствовали в математическом мире XVIII и XIX столетий, лишь одной даме удалось вырваться из пут французского публичного мнения и утвердить за собой репутацию большого эксперта по теории чисел. Софи Жермен революционизировала поиски Доказательства Великой теоремы Ферма и внесла вклад, существенно превосходящий все, что сделали ее предшественники-мужчины.

Софи Жермен появилась 1 апреля 1776 года в семье торговца Амбруаза Франсуа Жермен. Кроме увлечения математикой на ее жизнь глубокое влияние оказали бури и невзгоды Великой французской революции. В тот самый год, в то время, когда она открыла для себя свою любовь к числам, народ забрал штурмом Бастилию, а на то время, в то время, когда она занималась изучением матанализа, пала тень царства террора. Не смотря на то, что папа Софи был в полной мере состоятельным человеком, Жермены не принадлежали к аристократии.

Девушек, находившихся на той же ступени социальной лестницы, что и Софи, не особенно поощряли к изучению математики, однако предполагалось, что они должны владеть достаточным знанием этого предмета, дабы иметь возможность поддержать светский разговор, если он коснется какого-нибудь математического вопроса. Для этого была написана серия книжек, призванных ознакомить их с последними достижениями естествознания и математики. Так, перу Франческо Альгаротти принадлежал учебник «Философия сэра Исаака Ньютона, растолкованная для пользы дам». Потому, что Альгаротти был уверенный в том, что разрешу могут интересовать лишь романы, открытия Ньютона он постарался изложить в виде диалога маркизы, флиртующей с собеседником. К примеру, собеседник излагает маркизе закон всемирного тяготения, в ответ на что маркиза высказывает собственную интерпретацию этого основного закона физики: «Я не могу отделаться от мысли, что… то же соотношение, обратная пропорциональность квадрату расстояния… отмечается и в любви. К примеру, в случае если влюбленные не видятся восемь дней, то любовь делается в шестьдесят четыре раза не сильный, чем в сутки разлуки».
Неудивительно, что интерес Софи Жермен к науке появился не под влиянием книг для того чтобы галантного жанра. Событие, поменявшее всю ее жизнь, случилось в тот сутки, в то время, когда она, выбирая книги в отцовской библиотеке, случайно наткнулась на «Историю математики» Жана Этьена Монтуклы. Ее бросилась в глаза глава, в которой Монтукла говорит о жизни Архимеда. Список открытий Архимеда в изложении Монтуклы, без сомнений, приводил к интересу, но особенно воображение Софи захватил эпизод, в котором обращение шла о смерти Архимеда.

По преданию, Архимед совершил всю свою жизнь в Сиракузах, где в относительно спокойной обстановке занимался математикой. Но в то время, когда ему было далеко за семьдесят, покой был нарушен вторжением римской армии. В соответствии с легенде, как раз на протяжении этого вторжения Архимед, глубоко загружённый в созерцание фигуры , начертанной на песке, не расслышал обращенный к нему вопрос римского воина, и, пронзенный копьем, погиб. [8]
Жермен рассудила, что в случае если геометрическая задача может так захватить кого-то, что это стало причиной его смерти, то математика должна быть самым необычным предметом в мире. Софи срочно принялась за независимое изучение математического теории анализа и основ чисел, и скоро засиживалась допоздна, просматривая труды Ньютона и Эйлера. Неожиданный интерес к столь «неженскому» предмету, как математика, встревожил своих родителей Софи. Приятель семьи граф Гульельмо Либри-Каруччи далла Соммайя говорил, что папа Софи отобрал у дочери свечи, одежду и унес жаровню, обогревавшую ее помещение, дабы помешать ей заниматься математикой. Несколькими годами позднее в Британии папа юный девушки-математика Мэри Сомервилл кроме этого забрал у дочери свечи, заявив: «Этому необходимо положить конец, в случае если мы не желаем заметить Мэри в смирительной рубахе».
Но в ответ Софи Жермен завела тайное хранилище для свечей и спасалась от холода, кутаясь в простыни. По сообщению Либри-Каруччи, ночи зимний период бывали такими холодными, что чернила мёрзли в чернильнице, но Софи занималась математикой, несмотря ни на что. Кое-какие из знавших ее в молодости утверждали, что она была застенчивой и неуклюжей, но решимости ей было не занимать, и в итоге родители уступили и дали Софи благословение на занятия математикой. Жермен ни при каких обстоятельствах не была замужем, и в течении всей ее карьеры изучения Софи финансировал папа. Много лет Жермен проводила свои изучения в полном одиночестве, по причине того, что в семье не было математиков, каковые имели возможность бы познакомить ее с новейшими идеями, а учителя Софи не признавали ее действительно.
cole Polytechnique принимали лишь мужчин. Природная застенчивость не разрешала Софи открыто выступить против школьных правительства, и она решила обучаться там тайно, под видом бывшего студента этого учебного заведения месье Антуана Огюста Леблана. Управлению школы не было как мы знаем, что настоящий месье Леблан уже покинул Париж, и оно печатало для него задачи и конспекты лекций. Жермен начала получать материалы, предназначавшиеся для Леблана, и каждую семь дней предоставляла решения задач под свои новым псевдонимом. Все шло по замыслу , пока пара месяцев спустя смотритель курса Жозеф Луи Лагранж не обратил внимание на гениальные решения, каковые начал представлять месье Леблан. Решения месье Леблана не только отличались необычайным остроумием, но и свидетельствовали о глубокой перемене, случившейся в студенте, ранее известном своими не сильный познаниями в математике. Лагранж, принадлежавший к числу наиболее выдающихся математиков Европы, “настойчиво попросил” встречи с преобразившимся студентом, и Софи Жермен была вынуждена открыть, кто она в действительности. Лагранж был удивлен и приятно поражен, заметив перед собой девушку, и стал ее наставником и другом. Наконец-то у Софи Жермен показался преподаватель, который имел возможность поощрить и вдохновить ее, кому она имела возможность открыто показать свои знания и с кем имела возможность поделиться планами.
Жермен обретала все громадную уверенность в своих силах и перешла от решения задач в учебных заданиях к изучению еще неисследованных областей математики. Но самое серьёзное для нашего повествования содержится в том, что Софи заинтересовалась теорией чисел и, конечно, не имела возможности не услышать о Великой теореме Ферма. Пара лет Жермен проработала над ее доказательством и, наконец, достигла для того чтобы этапа, в то время, когда ей показалось, что она смогла продвинуться к желанной цели. Появилась насущная необходимость обсудить полученные результаты с сотрудником, экспертом по теории чисел, и Жермен решилась обратиться к самому громадному эксперту по теории чисел — германскому математику Карлу Фридриху Гауссу.
По общему признанию Гаусс — самый блестящий из когда-либо живших на свете математиков. Э.Т. Белл именовал Ферма «князем любителей», а Гаусса — «князем математиков». В первый раз Жермен по преимуществу оценила талант Гаусса, встретив его шедевр «Арифметические изучения» — наиболее ответственный и очень широкий по охвату неприятностей трактат из написанных со времен «Начал» Евклида. Труды Гаусса повлияли на все разделы математики, но, как ни необычно, он ни при каких обстоятельствах ничего не опубликовал о Великой теореме Ферма. В одном письме Гаусс высказал кроме того пренебрежительное отношение к проблеме Ферма. Приятель Гаусса, германский астроном Генрих Ольберс, написал ему письмо, настоятельно рекомендуя учавствовать в конкурсе на соискание премии Парижской Академии за решение проблемы Ферма: «Мне думается, дорогой Гаусс, что Вам следовало бы озаботиться этим». Двумя семь дней позднее Гаусс ответил: «Очень обязан за вести довольно Парижской премии. Но соглашусь, что Великая теорема Ферма как некое отдельное предложение воображает для меня малый интерес, потому, что я имел возможность бы привести множество таких предложений, каковые нереально ни доказать, ни опровергнуть». Гаусс был в праве придерживаться своего мнения, но Ферма светло объявил, что подтверждение существовало, а также предпринятые потом попытки отыскать подтверждение породили оригинальные методы и новые, такие, как подтверждение способом нескончаемого спуска и применение мнимых чисел. Быть может, Гаусс кроме этого пробовал отыскать подтверждение и потерпел неудачу, а его ответ Ольберсу — всего лишь вариант заявления «зелен виноград». Однако, успех, достигнутый Жермен, о котором Гаусс определил из ее писем, произвел на него столь яркое впечатление, что Гаусс на время забыл о своем пренебрежительном отношении к Великой теореме Ферма.
Семьюдесятью пятью годами ранее Эйлер опубликовал отысканное им подтверждение для n=3, и с того времени все математики тщетно пробовали доказать Великую теорему Ферма в других частных случаях. Но Жермен избрала новую стратегию и в письмах к Гауссу изложила так называемый неспециализированный подход к проблеме Ферма. В противном случае говоря, ее яркой целью было не подтверждение отдельного случая — Жермен вознамерилась сообщить что-то о многих частных случаях сходу. В письмах к Гауссу она изложила общий ход вычислений, сосредоточенных на несложных числах p частного типа: таких, что числа 2p+1 — кроме этого простые. В составленный Жермен список таких несложных чисел входит число 5, потому, что 11 = 2·5 + 1 — кроме этого простое, но число 13 в него не входит, поскольку 27 = 2·13 + 1 не простое.
В частности, Жермен посредством красивого рассуждения, доказала, что в случае если уравнение xn + yn = zn имеет решения для таких несложных n, что 2n+1 кроме этого простое число, то или x, y, или z делится n.
В 1825 году способ Софи Жермен был удачно применен Густавом Леженом Дирихле и Адриеном Мари Лежандром. Этих ученых разделяло целое поколение. Лежандр был семидесятилетним старцем, пережившим политические бури Великой французской революции. За отказ поддержать правительственного кандидата в Национальный Университет он был лишен пенсии, и к тому времени, в то время, когда он внес свою лепту в подтверждение Великой теоремы Ферма, Лежандр испытывал сильнейшую потребность. Дирихле же был молодым и выполненным честолюбивых планов экспертом по теории чисел, которому чуть исполнилось двадцать лет. И Лежандру, и Дирихле независимо друг от друга удалось доказать Великую теорему Ферма при n=5, причем оба основывали свои доказательства на рассуждениях Софи Жермен и как раз ей были обязаны своим успехом.
Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя француз Габриель Ламе. Он внес кое-какие остроумные усовершенствования в способ Жермен и доказал Великую теорему Ферма при несложном значении n=7. Жермен продемонстрировала экспертам по теории чисел, как исключить целую группу случаев с несложными значениями n, и сейчас объединенными упрочнениями ее коллеги доказывали теорему для одного несложного значения n за другим. Работа Жермен над Великой теоремой Ферма стала ее величайшим достижением в математике, не смотря на то, что и не сходу оцененным по преимуществу. В то время, когда Жермен в первый раз написала Гауссу, ей не было еще и тридцати лет, и не смотря на то, что ее имя получило известность в Париже, она опасалась, что великий великий математик не воспримет письмо от дамы действительно. Дабы обезопасисть себя, Жермен опять укрылась за псевдонимом, подписав письмо именем месье Леблана.
Софи не скрывала своего благоговения перед Гауссом. Вот фраза из ее письма: «К сожалению, глубина моего интеллекта уступает ненасытности моего аппетита, и я сознаю все безрассудство своего поступка, в то время, когда беру на себя смелость побеспокоить очень способного человека, не имея ни мельчайшего права на его внимание, не считая восхищения, которое неизбежно охватывает всех его читателей». Гаусс, не подозревая о том, кто в конечном итоге его обозреватель, постарался успокоить «месье Леблана». В ответном письме Гаусса говорилось: «Я восхищен тем, что математика отыскала в Вас столь талантливого приятеля».
Результаты, полученные Жермен, имели возможность бы навсегда остаться ошибочно приписанными месье Леблану, если бы не император Наполеон. В 1806 году Наполеон захватил Пруссию, и армия Франции штурмовала одну германскую столицу за другой. Жермен начала опасаться, как бы судьбу Архимеда не разделил ее второй великий герой — Гаусс. Софи написала своему приятелю — генералу Жозефу Мари Пернети, руководившему наступавшими армиями. В письме она просила генерала обеспечить Гауссу безопасность. Генерал предпринял соответствующие меры, позаботился о германском математике и растолковал ему, что тот обязан своей судьбой мадемуазель Жермен. Гаусс выразил свою признательность, но был удивлен, поскольку никогда не слышал о Софи Жермен.
Игра была проиграна. В следующем же письме Гауссу Жермен нехотя открыла свое настоящее имя. Никак не рассердившись за обман, Гаусс с восхищением ответил ей: «Как обрисовать Вам тот восхищение да и то удивление, каковые охватили меня при виде того, как мой высокочтимый обозреватель месье Леблан претерпел видоизменение, превратившись в превосходную особу, подающую столь блестящий пример, что мне тяжело в это поверить. Вкус к абстрактным наукам по большому счету, и в первую очередь ко всем таинствам чисел, видится очень редко, и это не страно: прельстительные чары данной узкой науки раскрываются лишь тем, кто имеет смелость глубоко пробраться в нее. Но в то время, когда представительница того пола, который в соответствии с предрассудками и нашими обычаями, обязан встретиться с вечно громадными трудностями, чем мужчины, при ознакомлении с тернистыми изучениями, умудряется удачно преодолеть все эти препятствия и пробраться в их самые чёрные части, то, без сомнений, она владеет благородным мужеством, совсем высшей одарённостью и необыкновенными талантами. Нет ничего, что смогло бы убедить меня столь лестным и несомненным образом в том, что привлекательные стороны данной науки, обогатившей мою жизнь таким числом эйфорий, не являются плодом фантазии, как та преданность, которой Вы почтили ее».
Переписка с Карлом Гауссом, ставшая для Софи Жермен источником вдохновения в работе, неожиданно оборвалась в 1808 году. Гаусс был назначен доктором наук астрономии в Гёттингенском университете, его интересы переместились от теории чисел к более прикладной математике, и он прекратил отвечать на письма Жермен. Лишившись поддержки для того чтобы наставника, Жермен утратила уверенность в своих силах и через год покинула занятия чистой математикой. Не смотря на то, что ей не удалось продвинуться дальше в доказательстве Великой теоремы Ферма, она занялась очень плодотворной деятельностью в области физики — научной дисциплины, в которой она опять имела возможность бы занять выдающееся положение, если бы не предрассудки истеблишмента. Наивысшим достижением Софи Жермен в физике стал «Мемуар о колебаниях упругих пластин» — блестящая, полная новых идей работа, заложившая фундамент современной теории упругости. За эту работу и работы по Великой теореме Ферма она была удостоена медали Университета Франции и стала первой дамой, которая посещала лекции в Академии Наук, не будучи женой участника Академии. К концу жизни Софи Жермен вернула отношения с Карлом Гауссом, убедившим Гёттингенский университет присудить ей почетную ученую степень. К сожалению, Софи Жермен погибла от рака груди прежде, чем университет смог оказать ей заслуженную почесть.
«Учитывая все сообщённое, возможно заявить, что Софи Жермен, по-видимому, владела наиболее глубоким умом среди дам, которых когда-либо создавала Франция. Может показаться необычным, но в то время, когда пришел государственный служащий, дабы выдать свидетельство о смерти данной известной сотрудницы и коллеги самых известных участников Французской Академии Наук, в графе «род занятий» он обозначил ее как «одинокая дама без профессии», а не «математик». Но это еще не все. При постройке Эйфелевой башни инженеры уделяли особенное внимание упругости применяемых материалов, и на этом огромном сооружении были начертаны имена семидесяти двух ученых, внесших особенно большой вклад теорию упругости. Но тщетно мы стали бы искать в этом перечне имя очень способной дочери Франции, чьи изучения во многом содействовали становлению теории упругости металлов — Софи Жермен. Была ли она исключена из этого перечня по той же причине, по которой Мария Аньези не была удостоена членства в Французской Академии, — вследствие того что была дамой? По-видимому, дело обстояло как раз так. Но в случае если это вправду так, то тем больший позор для тех, кто важен за такую возмутительную неблагодарность по отношению к человеку, имевшему столь громадные заслуги перед наукой, — человеку, обеспечившему себе хорошее место в зале славы». (А.Ж. Мозанс, 1913.)

Запечатанные конверты

По окончании прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков, тому математику, который сумеет наконец разгадать тайну Великой теоремы Ферма. Того, кто сумеет доказать теорему, ожидала не только заслуженная слава, но и большое материальное вознаграждение. Салоны Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот либо другой претендент и как скоро заявят результаты конкурса. Наконец 1 марта 1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих совещаний.

В протоколах совещания детально описывается, как Габриель Ламе, семью годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n=7, взошел на трибуну перед самыми известными математиками XIX века и объявил, что находится на пороге доказательства Великой теоремы Ферма для неспециализированного случая. Ламе признал, что его подтверждение еще не полно, но он обрисовал в общем свой способ и не без наслаждения сказал, что через пара недель опубликует полное подтверждение в издании, издаваемом Академией.

Аудитория замерла от восхищения, но чуть Ламе покинул трибуну как слова попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши. Обращаясь к участникам Академии, Коши сказал, что уже давно работает над доказательством Великой теоремы Ферма, исходя приблизительно из тех же идей, что и Ламе, и кроме этого скоро собирается опубликовать полное подтверждение.
И Коши, и Ламе сознавали, что решающее значение имеет время. Тому, кто сумеет первым представить полное подтверждение, дастся самая респектабельная и полезная приз в математике. Не смотря на то, что ни Ламе, ни Коши не обладали полным доказательством, оба соперника страстно хотели подкрепить свои заявления, и 20 дней спустя оба представили в Академию запечатанные конверты. В то время так было принято. Это разрешало математикам отстаивать свои приоритет, не раскрывая подробности своей работы. В случае если потом появлялся спор относительности оригинальности идей, то в запечатанном конверте хранились убедительные подтверждения, нужные для установления приоритета.

В апреле, в то время, когда Коши и Ламе наконец опубликовали кое-какие подробности своих доказательств в Трудах Академии, напряжение усилилось. Все математическое сообщество отчаянно жаждало ознакомиться с полным доказательством, причем многие математики втайне сохраняли надежду, что состязание победит Ламе, а не Коши. Если судить по всем отзывам, Коши был религиозным фанатиком и самодовольным существом. К тому же он был очень непопулярен среди своих сотрудников. В Академии его терпели лишь за блестящий ум.

Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от германского математика Эрнста Куммера. Куммер был признанным экспертом по теории чисел, но тёплый патриотизм, питаемый искренней неприязнью к Наполеону, в течении многих лет не разрешал ему отдаться своему подлинному призванию. В то время, когда Куммер был еще ребенком, армия Франции вторглась в его родной город Сорау, принеся с собой эпидемию тифа. Папа Куммера был муниципальным доктором и через пара недель заболевание унесла его. Потрясенный случившимся, Куммер поклялся сделать все, что в его силах, дабы избавить отчизну от нового вражеского вторжения, — и по окончании университета направил свой интеллект на решение проблемы построения траекторий пушечных ядер. Позднее он преподавал в Берлинском военном училище законы баллистики.

Параллельно с военной карьерой Куммер деятельно занимался изучениями в области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в Французской Академии. Куммер пристально прочёл публикации в Трудах Академии и проанализировал те немногие подробности, каковые рискнули раскрыть Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и того же логического тупика, — и свои мысли он изложил в письме к Лиувиллю.

Согласно точки зрения Куммера, главная неприятность заключалась в том, что доказательства Коши и Ламе опирались на применение свойства целых чисел, известного называющиеся единственности разложения на простые множители. Это свойство свидетельствует, что существует лишь одна вероятная комбинация несложных чисел, произведение которых дает данное целое число. К примеру, единственная комбинация несложных чисел, произведение которых дает число 18, имеет форму
18 = 2·3·3.
Подобно, числа 35, 180 и 106260 смогут быть единственным образом разложены на простые числа, и их разложения имеют вид
35 = 5·7, 180 = 2·2·3·3·5, 106260 = 2·2·3·5·7·11·23.
Единственность факторизации была найдена в IV веке до н. э. Евклидом, который в книге IX своих «Начал» доказал, что это правильно для всех натуральных чисел. Единственность разложения на простые множители для всех натуральных чисел — крайне важный элемент доказательств многих разных теорем и сейчас именуется основной теоремой математики.
На первый взгляд не должно быть никаких обстоятельств, по которым Коши и Ламе не могли бы применять единственность разложения на множители в своих рассуждениях, как это делали много математиков до них. Но, оба представленных Академии доказательства применяли мнимые числа. Куммер обратил внимание Лиувилля на то, что, не смотря на то, что теорема о единственности разложения на множители выполняется для целых чисел, она не обязательно обязана выполняться, в случае если употребляются мнимые числа. Согласно точки зрения Куммера, это была роковая неточность.
К примеру, в случае если мы ограничимся целыми числами, то число 12 допускает единственное разложение 2·2·3. Но стоит нам допустить в доказательстве мнимые числа, как число 12 возможно разложить на множители и без того:
12 = (1 + .
ым правилам, чем умножение действительных чисел, существование комплексных чисел порождает дополнительные методы разложения числа 12 на множители. Приведем еще один метод разложения числа 12:
12 = (2 + .
Следовательно, при применении в доказательстве мнимых чисел речь заходит не о единственности разложения, а о выборе одного из вариантов разложения на множители.
Так, потеря единственности разложения на множители нанесла тяжелый урон доказательствам Коши и Ламе, но не стёрла с лица земли их всецело. Предполагалось, что доказательства должны показать несуществование решений в целых числах у уравнения xn + yn = zn, где n n. Куммер продемонстрировал, что, применяя дополнительные ухищрения, возможно вернуть единственность разложения на множители при некоторых значениях n. К примеру, проблему единственности разложения возможно обойти для всех несложных чисел, не превышающих n = 31 (включая само значение n = 31). Но при n = 37 избавиться от трудностей не так легко. Среди других, других чисел, меньших 100, особенно тяжело доказать Великую теорему Ферма при n = 59 и n = 67. Это так именуемые нерегулярные простые числа, разбросанные среди остальных чисел, стали яблоком раздора на пути к полному доказательству.
Куммер подчернул, что не существует известных математических способов, каковые разрешили бы единым махом рассмотреть все нерегулярные простые числа. Но он полагал, что, шепетильно подгоняя существующие способы к каждому нерегулярному несложному числу в отдельности, удастся совладать с ними «по одиночке». Разработка таких выполненных по личному заказу способов было бы делом медленным и очень тяжёлым, и, что еще хуже, множество нерегулярных несложных чисел было нескончаемым. Рассмотрение нерегулярных несложных чисел по одному силами всего мирового математического сообщества растянулось бы до конца столетий.
Письмо Куммера произвело на Ламе ошеломляющее воздействие. Потерять из виду предположение о единственности факторизации! В лучшем случае такое возможно было бы назвать чрезмерным оптимизмом, в нехорошем — непростительной глупостью. Ламе сознавал, что если бы он не стремился держать подробности своей работы в тайне, то имел возможность найти пробел значительно раньше. В письме к своему коллеге Дирихле в Берлин он признавался: «Если бы лишь Вы были в Париже, либо я был в Берлине, все это ни при каких обстоятельствах бы не случилось». В случае если Ламе испытывал чувство унижения, то Коши не признавал поражение. Согласно его точке зрения, если сравнивать с доказательством Ламе, его собственное подтверждение в меньшей степени опиралось на единственность разложения на множители, и , пока совершённый Куммером анализ не будет всецело проверен, существует возможность, что в рассуждения германского математика где-то вкралась неточность. В течение нескольких недель Коши публиковал статью за статьей о доказательстве Великой теоремы Ферма, но к финалу лета замолчал и он.
Куммер продемонстрировал, что полное подтверждение Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был блестящий пример логики и одновременно с этим ужасный удар по целому поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую тяжёлую в мире математическую проблему.
Резюме подвел Коши, который в 1857 году писал в последнем отчете, представленном Академии, по поводу премии, назначенной за подтверждение Великой теоремы Ферма: «Отчет о конкурсе на премию по математическим наукам. Конкурс был назначен на 1853 год и после этого продлен до 1856 года. Секретарю были представлены одиннадцать мемуаров. Ни в одном из них поставленный вопрос решен не был. Так, не обращая внимания на многократную постановку, вопрос остается там, где его покинул господин Куммер. Но математические науки вознаграждены трудами, предпринятыми геометрами в их рвении решить вопрос, в особенности г-на Куммера, и члены Комиссии уверены в том, что Академия приняла бы достаточное и нужное решение, если бы, изъяв вопрос из конкурса, присудила бы медаль г-ну Куммеру за его красивые изучения по комплексным числам, складывающимся из корней из целых и единицы чисел».

* * *

Более двух столетий каждая попытка открыть заново подтверждение Великой теоремы Ферма заканчивалась неудачей. В юношеские годы Эндрю Уайлс изучил работы Эйлера, Жермен, Коши, Ламе и, наконец, Куммера. Уайлс сохранял надежду, что ему удастся извлечь уроки из неточностей, допущенных великими предшественниками, но к тому времени, в то время, когда он стал старшекурсником Оксфордского университета, на его пути поднялась та же каменная стенки, перед которой остановился Куммер.
Кое-какие из современников Уайлса начали подозревать, что неприятность Ферма может оказаться неразрешимой. Нельзя исключать, что Ферма заблуждался, и исходя из этого обстоятельство, по которой никому не удалось вернуть подтверждение Ферма, содержится легко в том, что для того чтобы доказательства по большому счету не существовало. Уайлса воодушевляло то, что в прошлом, по окончании упорных упрочнений в течении столетий, для некоторых значений n подтверждение Великой теоремы Ферма все же было найдено. И в некоторых из этих случаев успешные идеи, разрешившие решить проблему, не опирались на новые успехи математики; напротив, это были доказательства, каковые могли быть в далеком прошлом быть найдены.
Одним из примеров задачи, настойчиво не поддававшейся решению в течении десятилетий, может служить догадка о точках. В ней речь заходит о нескольких точках, любая из которых соединена с другими точками прямыми, как продемонстрировано на рис. 13. Догадка говорит, что нереально нарисовать диаграмму для того чтобы рода так, дабы на каждой прямой лежали по крайней мере три точки (диаграмму, на которой все точки лежат на одной и той же прямой, мы исключаем из рассмотрения). Экспериментируя с несколькими диаграммами, мы можем убедиться в том, что догадка о точках, по-видимому, верна. На рис. 13а пять точек связаны шестью прямыми. На четырех из этих линий не наберется по три точки, и исходя из этого ясно, что такое размещение точек не удовлетворяет требованию задачи, в соответствии с которому каждой прямой в собственности по три точки.

а)

б)

Рис. 13. На этих диаграммах любая точка связана с каждой из остальных точек прямыми. Возможно ли выстроить такую диаграмму, на которой любая прямая проходит по крайней мере через три точки?

Добавив одну точку и одну проходящую через нее прямую, мы снизили число прямых, на которых не лежат по три точки, до трех. Но предстоящее приведение диаграммы к условиям догадки (такая перестройка диаграммы, из-за которой на каждой прямой выяснилось бы по три точки), по-видимому, неосуществима. Очевидно, это не обосновывает, что таковой диаграммы не существует.
Поколения математиков пробовали отыскать подтверждение, казалось бы, нехитрой догадки о точках — и потерпели неудачу. Эта догадка вызывает еще большее раздражение вследствие того что в то время, когда решение в итоге было обнаружено, стало известно, что для него нужны только минимальные познания в математике и один неординарный поворот в рассуждениях. Движение доказательства намечен в Приложении 6.
В полной мере быть может, что все способы, нужные для доказательства Великой теоремы Ферма, уже имелись в распоряжении математиков, и что единственным недостающим ингредиентом был какой-то остроумный движение. Уайлс не планировал сдаваться: детская мечта о доказательстве Великой теоремы Ферма превратилась в глубокое и важное увлечение. Ознакомившись со всем, что возможно было определить о математике XIX века, Уайлс решил взять на вооружение способы XX века.

Глава 4. Уход в абстракцию

Доказательство — это идол, которому математики приносят себя в жертву.
Сэр Артур Эддингтон

По окончании работ Эрнста Куммера надежды отыскать подтверждение ослабли, очень прежде. Помимо этого, в математике начали развиваться разные новые области. Появился риск, что новое поколение математиков останется в неведении довольно неразрешимой неприятности. К началу XX века теорема Ферма все еще занимала особенное место в сердцах экспертов по теории чисел, но они относились к ней так же, как химики относятся к алхимии. И алхимия, и Великая теорема Ферма в глазах наших современников выглядят романтическими мечтами прошлого.

В 1908 году Пауль Вольфскель, германский промышленник из Дармштадта, вдохнул в ветхую проблему новую жизнь. Семья Вольфскелей славилась покровительством и своим богатством наукам и искусствам, и Пауль не был исключением. В университете он изучал математику и не смотря на то, что свою жизнь Пауль посвятил постройке империи домашнего бизнеса, все же он поддерживал контакт с опытными математиками и продолжал на любительском уровне заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли отыскать подтверждение Великой теоремы Ферма.

Вольфскель отнюдь не был одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски доказательства Великой теоремы Ферма. Но цепочка неординарных событий стала причиной тому, что его имя выяснилось навсегда связанным с теоремой Ферма и вдохновило тысячи людей заняться поиском ее доказательства.
История начинается с того, что Вольфскель увлекся прекрасной дамой, личность которой так ни при каких обстоятельствах и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, таинственная дама отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить суицид. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и исходя из этого принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, каковые шли великолепно, а в последний сутки составил завещание и написал письма родным родственникам и друзьям.
Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, дабы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где начал просматривать математические издания. Скоро ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот растолковывал, из-за чего потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых больших математических публикаций своего века и идеально доходила для чтения математику, задумавшему совершить суицид. Вольфскель пристально, строка за строчком, проследил за выкладками Куммера. Нежданно Вольфскелю показалось, что он нашёл пробел: создатель сделал некое предположение и не обосновал данный ход в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, вправду ли ему удалось найти важный пробел, либо сделанное Куммером предположение было обоснованным. В случае если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать значительно несложнее, чем полагали многие.
Вольфскель сел за стол, шепетильно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было или подкрепить работу Куммера, или показать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его аргументы. К восходу солнца Вольфскель закончил свои вычисления. Нехорошие (с позиций математики) новости пребывали в том, что подтверждение Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма так же, как и прежде осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось найти и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его печаль и отчаяние развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.
Вольфскель порвал свои прощальные письма и переписал свое завещание в свете произошедшего в ту ночь. По окончании его смерти, последовавшей в 1908 году, завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: стало известно, что Пауль завещал большую часть своего состояния в качестве премии тому, кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1 000 000 фунтов в современных масштабах) была той суммой, которую Вольфскель счел своим долгом уплатить в приз за головоломную проблему, спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счет Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году официально заявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля:

«Во выполнение воли д-ра Пауля Вольфскеля, умершего в Дармштадте, мы объявляем о создании фонда в сто тысяч марок, каковая сумма и будет вручена тому, кто первым докажет Великую теорему Ферма.
Будут соблюдаться следующие правила.
1. Королевское научное общество в Гёттингене владеет полной свободой воли в принятии решения, кому надлежит присудить премию. Рукописи, представленные с единственной целью учавствовать в конкурсе на получение премии, приниматься не будут. К рассмотрению допускаются лишь математические мемуары, представленные в виде статей в периодической прессе либо имеющиеся в книжных лавках. Общество обращается к авторам аналогичных мемуаров прося присылать по крайней мере пять печатных экземпляров.
2. Работы, размещённые на языках, непонятных ученым экспертам, выбранным для работы в жюри, не допускаются к участию в конкурсе. Авторам таких работ разрешается заменить их переводами, удостоверившись в точности последних.
3. Общество не берет на себя ответственность за рассмотрение работ, не представленных на конкурс, и за неточности, каковые смогут случиться по причине того, что создатель работы либо часть работы не известны Обществу.
4. Общество сохраняет за собой право принятия решения при, в то время, когда к решению проблемы имеет отношение пара лиц либо в то время, когда решение результат общих усилий нескольких ученых, а также и по вопросам распределения премии.
5. Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два года по окончании опубликования мемуара, удостоенного премией. Двухлетний временной отрезок нужен чтобы германские и иностранные математики имели возможность высказать свое вывод по поводу опубликованного решения.
6. По окончании того, как состоится присуждение премии Обществом, секретарь от имени Общества уведомляет об этом лауреата. Решение публикуется везде, где ранее было заявлено о конкурсе на соискание премии. Присуждение премии Обществом дискуссии не подлежит.
7. Выплата премии лауреату производится в течение трех месяцев по окончании присуждения Королевским казначеем Гёттингенского университета либо, на ответственность получателя, в любом указанном им месте.
8. Капитал возможно выплачен по желанию Общества под расписку или наличными, или переводом денежных ценностей. Выплата премии считается произведенной при переводе этих денежных ценностей кроме того в том случае, если к концу дня сумма премии не достигнет 100000 марок.
9. В случае если премия не будет присуждена до 13 сентября 2007 года, то предстоящие заявки не принимаются.
Конкурс на соискание премии Вольфскеля считается открытым с этого дня на вышеприведенных условиях.
Гёттинген, 27 июня 1908 г.,
Королевское общество наук»

Необходимо заметить, что Рабочая группа выплатила бы 100000 марок первому математику, который доказал бы, что Великая теорема Ферма верна, но тот, кто доказал бы, что теорема Ферма не верна, не взял бы и пфеннига.
О премии Вольфскеля было заявлено во всех математических изданиях, и весть о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Не обращая внимания на широкую рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной премии, Комиссии Вольфскеля не удалось привести к особому интересу у важных математиков. Большая часть опытных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма неисправимым делом и решительно отказывались тратить свое драгоценное время на такое ненужное занятие. Но премии Вольфскеля удалось внедрить проблему Ферма в сознание совсем новой аудитории — невидимой армии жаждущих знания молодых умов, жаждущих испытать себя на решении неприступной головоломки и не видящих ничего зазорного в том, что они приступают к поиску доказательства с очевидно недостаточным багажом.

Эра загадок и головоломок

С античных времен и поныне математики пробовали придать занимательность своим книжкам, излагая доказательства и теоремы в форме решений числовых задач-головоломок. Во второй половине XIX века таковой игровой подход к математике пробрался на страницы общедоступной прессы, и числовые головоломки начали появляться в журналах и газетах наровне с анаграммами и кроссвордами. Растущая сутки ото дня аудитория жаждала математических головоломок, к числу которых непрофессионалы относили все — от тривиальнейших головоломок до глубоких математических неприятностей, включая Великую теорему Ферма.
Быть может, самым плодовитым создателем головоломок был Генри Дьюдени, печатавшийся в десятках журналов и газет, а также таких, как «Strand», «Cassel’s», «The Queen», «Tit-Bits», «The Weekly Dispatch» и «Blightly». Достопочтенный Чарльз Доджсон, лектор по математике колледжа Крайст Черч Оксфордского университета, более узнаваемый под литературным псевдонимом Льюис Кэрролл, был еще одним выдающимся автором головоломок викторианской эры. Пара лет Доджсон израсходовал на то, дабы собрать широкую коллекцию всяких головоломок и математических курьёзов под неспециализированным заглавием «Curiosa Mathematica». Ему не удалось выполнить свой план до конца, но пара книг все же было выпущено, в их числе «Полуночные задачи, придуманные в часы бессонницы».
Но величайшим мастером головоломок был американский гений-самородок Сэм Лойд (1841–1911 гг.), который еще мальчишкой имел в полной мере приличный доход, придумывая новые головоломки и усовершенствуя ветхие. В книге «Сэм Лойд и его головоломки: автобиографический обзор» он признает, что кое-какие из его первых головоломок были созданы по заказу фокусника и владельца цирка П. Т. Барнума:
«Много лет назад, в то время, когда “Цирк Барнума” был воистину “величайшем зрелищем на Земле”, известный шоумен заказал мне серию головоломок, предназначенных быть призами в рекламной кампании. Называющиеся “Вопросы сфинкса” они получили известность из-за больших призов, предлагавшихся тем, кто сумеет на них ответить».
Примечательно, что эта «автобиография» была написана в 1928 году, через 17 лет по окончании смерти Лойда. Свое пристрастие к головоломкам Лойд передал своему сыну, кроме этого Сэму, который и был настоящим автором книги «Сэм Лойд и головоломки» и замечательно знал, что каждый, кто ее приобретёт, будет ошибочно считать, что ее создатель — более знаменитый Сэм Лойд-старший.
Самой известной головоломкой Сэма Лойда стал викторианский эквивалент кубика Рубика — игра в 15, которую и поныне возможно встретить в игрушечных лавках. Пятнадцать расположить шашки по порядку номеров. В головоломке Лойда «15–14» начальное размещение шашек в коробочке было таким, как на рис. 14. Сэм Лойд внес предложение большое вознаграждение тому, кто сумеет решить задачу-головоломку, передвинув шашки (проделав серию ходов) «14» и «15» так, дабы они расположились в верном порядке. Сын Лойда обрисовал тот ажиотаж, который вызвала эта «механическая», а в действительности математическая головоломка:
«Премия в 1000 долларов тому, кто первым верно примет решение эту головоломку, так и не была никем пользуется спросом, не смотря на то, что тысячи людей утверждали, словно бы им удалось добиться желаемого. Люди теряли из-за головоломки «15–14» сон и покой. Говорили о обладателях лавок, каковые забывали открывать свои заведения, о известном священнике, который простоял всю зимнюю ночь под уличным фонарем, пробуя припомнить, как ему удалось решить задачу. Самое необычное во всех этих историях о головоломке «15–14» было то, что никто из «решивших» ее не имел возможности отыскать в памяти последовательность ходов, которая стала причиной победе. Говорили, словно бы лоцманы сажали суда на мели, а машинисты проскакивали безостановочно ЖД станции. Узнаваемый балтиморский издатель говорил, как в один раз он отправился на ленч и понял, что типографии и сотрудники редакции самозабвенно играются в пятнадцать с полуночи, гоняя по тарелке кусочки пирога».

Рис. 14. Карикатура с изображением мании, порожденной «Игрой в 15» Сэма Лойда (головоломки, в которой все шашки, не считая двух последних, расположены по порядку)

Лойд был полностью не сомневается в том, что ему не нужно будет выплатить заявленную премию в 1000 американских долларов, потому, что точно знал, что нереально расположить шашки с номерами «14» и «15», не нарушив наряду с этим верного размещения каких-нибудь других шашек. Так же, как великий математик может доказать неразрешимость какого-нибудь уравнения, Лойд имел возможность доказать, что предложенная им головоломка не имеет решения.
Подтверждение Лойда начиналось с определения величины, которая являлась мерой беспорядка в размещении шашек — параметра беспорядка Dp. Параметр беспорядка данного размещения шашек равен числу пар шашек, у которых больший номер предшествует меньшему, т. е. номера идут в неправильном, обратном, порядке. Для верного размещения шашек, как на рис. 15a, Dp = 0.

а) Dp = 0

б) Dp = 6

в) Dp = 12

Рис. 15. Передвигая шашки в коробочки (но не извлекая их из нее), возможно создавать разные неупорядоченные размещения чисел. Для каждого размещения возможно количественно измерить беспорядок, вводя параметр беспорядка Dp

Начав с верного размещения шашек и передвигая их в коробочке (но не вынимая из нее), относительно легко взять размещение, представленное на рис. 15б. В нем шашки идут в верном порядке , пока мы не достигнем шашек 12 и 11. Ясно, что шашка с номером 11 обязана предшествовать шашке 12, исходя из этого шашки в данной паре находятся в обратном порядке. Полный перечень тех пар, в которых шашки находятся в обратном порядке таков: (12,11), (15,13), (15,14), (15,11), (13,11) и (14,11). Так, при размещении шашек, продемонстрированном на рис. 15б, имеется 6 пар с обратным размещением шашек, и Dp = 6. (Увидим, что шашка 10 соседствует с шашкой 12. Это очевидно неверно, но такое размещение номеров шашек однако не есть обратным, исходя из этого эта пара шашек не вносит вклада в параметр беспорядка.) Еще пара ходов, и мы приходим к размещению шашек, представленному на рис. 15в. Составив полный перечень пар шашек с номерами, идущими в обратном порядке, мы найдём, что Dp = 12. Принципиально важно подметить, что во всех трех случаях а, б и в, значения параметра беспорядка четны (0, 6 и 12). Вправду, если вы начнете с верного размещения шашек и станете передвигать их, не вынимая из коробочки, то утверждение о четности параметра беспорядка останется в силе. По окончании любого числа ходов, при размещении шашек с пустой клеткой в правом нижнем углу, значение Dp постоянно будет четным.
В противном случае говоря, четное значение параметра беспорядка — свойство всех размещении, приобретаемых из исходного верного размещения. В математике свойство, которое сохраняется независимо от того, какие конкретно действия производятся над объектом, именуется инвариантом.
Но если вы проанализируете размещение шашек в головоломке Лойда «15–14», то найдёте, что значение параметра беспорядка для нее равняется единице: Dp = 1, так когда у одной пары с номерами 13 и 15 номера идут в обратном порядке. В головоломке Лойда параметр беспорядка имеет нечетное значение! Но мы знаем, что у любого размещения, взятого из верного исходного размещения, значение параметра порядка четно. Из этого следует заключение: размещение шашек в головоломке Лойда «15–14» не может быть получено из верного исходного размещения, и напротив, размещение шашек в головоломке Лойда не может быть сведено к верному размещению. За премию в 1000 долларов Лойд мог быть полностью спокоен!
Головоломка Лойда и параметр беспорядка убедительно демонстрируют силу инварианта. Инварианты дают математикам ответственную стратегию, в то время, когда требуется доказать, что один объект нереально преобразовать в другой. К примеру, на данный момент большой интерес приводит к изучению узлов, и эксперты по теории узлов, конечно, пробуют узнать, возможно либо нет преобразовать один узел в другой, изгибая и образуя петли, но не разрезая его. Дабы ответить на данный вопрос, они пробуют отыскать какое-нибудь свойство исходного узла, которое сохранялось бы при любом образовании и изгибании петель, т. е. инвариант узла. После этого они вычисляют такой же инвариант для второго узла. В случае если значения инвариантов выясняются разными, то из этого с необходимостью направляться вывод о том, что первый узел нереально преобразовать во второй.
Перед тем, как первые шаги в этом направлении были сделаны Куртом Рейдемейстером в 20-х годах XX века, доказать, что один узел не может быть преобразован в другой, было нереально. В противном случае говоря, до открытия инвариантов узлов было нереально доказать, что узел «бантиком» нереально преобразовать в рифовый узел, простой узел либо кроме того несложную петлю без какого именно бы то ни было узла по большому счету.
Понятие инвариантного свойства занимает центральное место во многих других математических доказательствах, и, как мы заметим в гл. 5, оно сыграло решающую роль в возвращении Великой теоремы Ферма в основное русло развития современной математической мысли.
На стыке XIX и XX столетий, благодаря поклонникам Сэма Лойда и его головоломки «15–14», миллионы любителей решать головоломки на западе жаждали новых тяжёлых задач. В то время, когда весть о наследстве Вольфскеля дошла до этих начинающих математиков, великая теорема Ферма опять стала самой известной математической проблемой в мире. Великая теорема Ферма была вечно более сложной, чем самая тяжёлая из головоломок Лойда, но и приз был несравненно больше.
Любители грезили о том, что им, быть может, удастся отыскать относительно простой трюк, который ускользнул от внимания великих математиков прошлого. В то время, когда обращение заходила о знании методов и математических приёмов, преисполненный рвением любитель, живущий в XX веке, во многом не уступал Пьеру де Ферма. Трудность была в другом — в отсутствии изобретательности, с которой Ферма пользовался известными ему методами и приёмами.
Через пара недель по окончании объявления конкурса на соискание премии Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Не страно, что все они до одного были ошибочными. И не смотря на то, что любой из участников конкурса был уверен, что именно ему удалось решить проблему, пережившую столетия, но во всех отправленных доказательствах неизбежно была какая-нибудь узкая, а время от времени и не тонкая — неточность. Мастерство теории чисел так абстрактно, что очень легко сойти с верного логического пути и незаметно заблудиться, кроме того впасть в вздор. В Приложении 7 продемонстрирована классическая неточность для того чтобы сорта, которую легко может допустить энтузиаст-любитель.
Независимо от того, кто был отправителем того либо иного доказательства, каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, в случае если малоизвестному любителю все же удастся отыскать столь в далеком прошлом разыскиваемое подтверждение. Деканом матфакультета Гёттингенского университета с 1909 по 1934 годы был доктор наук Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность разбирать все доказательства, отправленные на соискание премии Вольфскеля.
Ландау был должен то и дело прерывать собственные изучения, потому, что ему необходимо было разбирать десятки ошибочных доказательств, поступавших к нему на стол любой месяц. Дабы совладать с обстановкой, доктор наук Ландау изобрел красивый способ, разрешивший избавиться от докучливой работы. Доктор наук попросил напечатать пара сотен карточек, на которых значилось:

Глубокоуважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за отправленную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая неточность находится на стр … в строке … Из-за нее все подтверждение утрачивает силу.
Доктор наук Э.М. Ландау

Каждое из взятых доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.
Доказательства поступали постоянным потоком в течение нескольких лет кроме того по окончании того, как премия Вольфскеля катастрофически обесценилась из-за гиперинфляции по окончании Первой Мировой. Говорят, что тот, кто победил бы конкурс сейчас, вряд ли имел возможность приобрести на премию чашку кофе, — но такие утверждения пара преувеличены. Как пояснил д-р Ф. Шлихтинг, важный за рассмотрение доказательств в 70-х годах, премия Вольфскеля сейчас образовывает более 10000 марок. Неповторимая возможность составить представление о работе Комиссии Вольфскеля дает письмо д-ра Ф. Шлихтинга Паулю Рибенбойму, приведенное в книге Ф. Шлихтинга «Тринадцать лекций о Великой теореме Ферма».

«Глубокоуважаемый господин!
Общее число представленных к настоящему времени «решений» неизвестно. В первоначальный год (1907–1908 гг.) в анналах Академии было зарегистрировано 621 решение. На данный момент в Академии сохраняются стопка бумаг, толщиной около трех метров, с материалами переписки по проблеме Ферма. В последние десятилетия работа с письмами производилась следующим образом. Секретарь Академии делил поступающие рукописи по следующим категориям: 1) полная чепуха, которая срочно отсылалась обратно; 2) материал, который по крайней мере снаружи был похожим математику.
Вторая часть корреспонденции передавалась матфакультету, где работа по прочтению рукописей, ответу и нахождению ошибок авторам поручалась одному из ассистентов (в германских университетах это люди, окончившие полный курс университета и работающие над диссертацией на соискание ученой степени «доктора философии» — Ph.D.). на данный момент очередная жертва — это я. Любой месяц поступают 3–4 письма, на каковые я обязан отвечать. В этих письмах масса увлекательного и любопытного материала. К примеру, один из обозревателей отправил половину доказательства и дал обещание отправить вторую, в случае если мы выплатим 1000 марок авансом. Другой обозреватель дал обещание мне 1% от своих доходов от своих публикаций, интервью на радио и телевидении, в то время, когда он станет известным, в случае если лишь я окажу ему на данный момент поддержку. В другом случае он угрожал отправить свое подтверждение в адрес матфакультета какого-нибудь российского университета и тем самым отнять у нас славы его открывателей. Иногда кто-нибудь из авторов «доказательств» наведывается в Гёттинген и настаивает на личной встрече и дискуссии.
Практически все «доказательства» написаны на самом элементарном уровне (и применяют обозначения, заимствованные из высшей математики и, возможно, некоторых не хорошо усвоенных работ по теории чисел). Однако осознать их весьма тяжело. В социальном замысле отправители часто оказываются людьми с техническим образованием, но с несложившейся карьерой, каковые пробуют сейчас достигнуть успеха посредством доказательства Великой теоремы Ферма. Кое-какие рукописи я передал психиатрам, и те диагностировали тяжелую шизофрению.
Одно из условий в завещании Вольфскеля пребывало в том, что Академия была обязана каждый год печатать извещение о конкурсе на соискание премии в основных математических изданиях. Но уже через пара первых лет издания отказались печатать уведомление о конкурсе вследствие того что редакции были заваленными сумасшедшими рукописями и письмами. Надеюсь, что эта информация представит для Вас некоторый интерес.
Честно Ваш Ф. Шлихтинг»

Как упоминает д-р Шлихтинг, участники конкурса не исчерпывались тем, что присылали свои «доказательства» в Академию. Вряд ли во всем мире найдется хотя бы один механикоматематический факультет, где бы ни стоял шкаф, набитый поступившими от любителей «доказательствами». Большая часть университетов попросту оставляет такие любительские доказательства без ответа и внимания, но кое-какие университеты прибегали к более изобретательным методам, разрешавшим отделаться от назойливых обозревателей.[9] Узнаваемый американский популяризатор науки Мартин Гарднер вспоминает об одном своем привычном, имевшим обыкновение возвращать пришедшие в его адрес рукописи с запиской, в которой извещал отправителя, что не хватает компетентен чтобы вникнуть в подробности доказательства, и информировал адрес и имя специалиста, который имел возможность бы разобраться в подробностях доказательства, т. е. по существу предлагал любителю обратиться к несчастному специалисту. Другой друг Мартина Гарднера отвечал авторам отправленных доказательств так: «У меня имеется превосходное опровержение отправленного Вами доказательства, но эта страница не хватает громадна, дабы вместить его».
Не смотря на то, что математики-любители всей земли в течении XX века пробовали отыскать подтверждение Великой теоремы Ферма и терпели одну неудачу за другой в попытках завоевать премию Вольфскеля, математики-специалисты по большей части игнорировали эту проблему. Вместо того, дабы опираться в своих изучениях на труды Куммера и других экспертов по теории чисел, математики обратились у изучению оснований своей науки, дабы сосредоточить внимание на самых фундаментальных вопросах о числах. Кое-какие из величайших фигур XX века — а также Бертран Рассел, Давид Курт и Гильберт Гёдель пробовали разобраться в наиболее глубоких свойствах чисел, дабы постичь их подлинное значение и установить, какие конкретно неприятности теории чисел разрешимы, а какие конкретно — что значительно серьёзнее — неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на судьбах Великой теоремы Ферма. [10]

Основания знания

в течении столетий математики занимались тем, что посредством логического доказательства пробовали выстроить мост, ведущий от известного в малоизвестное. Им удалось достигнуть замечательных удач. Каждое новое поколение математиков расширяло грандиозное здание своей науки, создавая новые представления о фигурах и числах. Но к концу XIX века вместо того, дабы наблюдать вперед, кое-какие математики стали все чаще оглядываться назад, на основания математики, на которых зиждилось все другое. Они желали пересмотреть самые основания математики чтобы заново выстроить ее, выполняя все требования математической строгости, начиная с первых правил, дабы еще раз убедиться в надежности этих самых первых правил.
Математики известны своей придирчивостью. Перед тем как принять любое утверждение, они требуют безотносительного доказательства его истинности. Их репутация четко выражена в истории, которую Ян Стюарт приводит в своей книге «Понятия современной математики»: «Говорят, что астроном, великий математик и физик проводили отпуск в Шотландии. Глядя из окна поезда, они увидели среди поля тёмную овцу. «Как весьма интересно, — увидел астроном, — все шотландские овцы тёмные!» «Нет, нет! — возразил физик. — Кое-какие шотландские овцы тёмные!» Математик задумчиво взглянул вверх, а после этого протянул: «В Шотландии имеется по крайнее мере одно поле, среди которого пасется по крайней мере одна овца, у которой по крайней мере одна сторона тёмная».
Еще строже, чем простой математик, рассуждает тот математик, который специализируется в области математической логики. Математические логики ставят под сомнение кроме того те идеи, каковые другие математики столетиями считали незыблемыми. К примеру, закон трихотомии говорит, что каждое целое число или отрицательно, или положительно, или равняется нулю. Это утверждение казалось очевидным, и математики неизменно молчаливо предполагали, что оно истинно, но никто ни при каких обстоятельствах не потрудился проверить, так ли это. Логики осознали, что , пока истинность закона трихотомии не доказана, его утверждение может оказаться фальшивым, а если оно окажется фальшивым, то упадёт все опирающееся на него здание знаний. К счастью для математики, истинность закона трихотомии была доказана в конце XIX века.
Со времен Древней Греции математика накапливала все больше высказываний и теорем, каковые не были строго доказаны. Математики были озабочены истинностью некоторых из них, пробравшихся в математический арсенал без анализа, — таких, как закон трихотомии. Кое-какие идеи были усвоены весьма в далеком прошлом, но, никто не может быть в полной мере не сомневается в том, что они смогут принимать во внимание доказанными, потому, что в различное время были различные представления об уровне строгости доказательства. Исходя из этого логики решили проверить подтверждение каждой теоремы сначала. Но любая истина должна быть выведена из других истин. Со своей стороны те истины сперва должны быть доказаны, исходя из еще более фундаментальных истин, и т. д. В итоге логики были лицом к лицу с несколькими утверждениями, такими фундаментальными, что вывести их из других утверждений не представлялось вероятным. Эти фундаментальные утверждения именуют аксиомами математики.
Одним из примеров аксиом может служить коммутативный закон сложения, который гласит: для любых чисел m и n правильно равенство

m + n = n + m

Данный закон и пара других аксиом принято считать самоочевидными. Они легко смогут быть проверены на любых числах. До сих пор аксиомы удачно проходили все проверки и были приняты за базу всей математики. Задача, которую поставили перед собой логики, заключалась в том, дабы постараться заново выстроить всю математику, исходя из этих аксиом. В Приложении 8 приводится комплект аксиом математики и дается представление о том, как логики собираются, исходя из них, выстроить всю другую математику.
В медленном и больном ходе перестройки грандиозного и сложного здания математического знания на базе предельного количества аксиом принимали участие весьма многие математики. Мысль данной перестройки заключалась в том, дабы обосновать с применением строжайших стандартов логики то, что математики считали в далеком прошлом известным. Германский великий математик Герман Вейль так обрисовывал настроение того времени: «Логика — это гигиена, правила которой великий математик выполняет, дабы сохранить свои идеи здоровыми и сильными». Помимо этого, была надежда, что столь фундаментальный подход разрешит пролить свет на еще нерешенные неприятности, а также — на Великую теорему Ферма.

Программу обновления математики возглавил один из самых выдающихся ученых XX века — Давид Гильберт. По его глубокому убеждению, все в математике может и должно быть доказано, исходя из главных аксиом. Итог аксиоматического подхода должен был быть доказательно показан на двух наиболее значимых элементах математической системы. Во-первых, математика, по крайней мере в принципе, должна быть способна ответить на любой вопрос в отдельности — это тот самый принцип полноты, который в прошлом потребовал введения новых чисел, к примеру, отрицательных и мнимых чисел. Во-вторых, математика должна быть свободна от противоречий, т. е. в случае если истинность некоторого утверждения доказана одним способом, то должна быть исключена возможность доказательства отрицания того же самого утверждения другим способом. Гильберт был уверен, что, приняв всего лишь пара аксиом, возможно ответить на любой мыслимый математический вопрос, не опасаясь впасть в несоответствие.

8 августа 1900 года Гильберт выступил с историческим докладом на II Интернациональном конгрессе математиков в Париже. Гильберт сформулировал двадцать три неприятности, имевшие, согласно его точке зрения, громаднейшее значение. Первые из них были посвящены логическим основаниям математики. По плану Гильберта, сформулированные им неприятности должны были привлечь интерес математического мира и стать программой будущих изучений. Гильберт желал гальванизировать математическое сообщество, дабы оно помогло робии:

Wir mussen wissen, Wir werden wissen.[11]

Громадный вклад в осуществление так называемой гильбертовской программы внес Готтлоб Фреге, временами вступавший в острейшее соперничество с Гильбертом. Более десяти лет Фреге посвятил выводу сотен сложных теорем из несложных аксиом, и достигнутые удачи вселили в него уверенность, что он находится на пути к осуществлению большой части намеченной Гильбертом программы. Одним из ключевых достижений Фреге было создание самого определения числа. К примеру, что мы в конечном итоге понимаем под числом 3? Оказалось, что для определения числа 3 Фреге пригодилось сперва выяснить «троичность».
«Троичность» — это абстрактное свойство, присущее всем комплектам, либо множествам, содержащим по три объекта. К примеру, «троичность» возможно использована и при описании поросят в известной детской песенке, и при описании множества сторон треугольника. Фреге увидел, что свойством «троичности» владеют бессчётные множества и воспользовался абстрактной идеей таких множеств для определения самого числа «3». Он создал новое множество и поместил в него все множества, владеющие свойством троичности, и назвал это новое множество «множество 3». Так множество имеет три участника в том и лишь в том случае, если оно в собственности «множеству 3».
Для понятия, которым мы пользуемся каждый день, такое определение может показаться чересчур сложным, но столь строгое описание «множества 3» нужно для бескомпромисной программы Гильберта.
В 1902 году тяжёлый труд, добровольно возложенный на себя Фреге, подошел к концу: Фреге подготовил к печати огромный двухтомный трактат «Grundgesetze der Arithmetik»[12], который должен был установить в математике новый стандарт строгости.

Тогда же британский логик Бертран Рассел, кроме этого внесший большой вклад в осуществление грандиозного проекта Гильберта, сделал ошеломляющее открытие: строго следуя предписаниям Гильберта, он все же наткнулся на несоответствие. Позднее Рассел вспоминал собственную реакцию на удручающее осознание того, что вся математика возможно внутренне противоречива: «Сперва я было высказал предположение, что легко и просто сумею преодолеть это несоответствие, и что в мои рассуждения, быть может, где-то вкралась какая-нибудь тривиальная неточность. Но неспешно мне становилось ясно, что это не верно… Всю вторую половину 1901 года я сохранял надежду, что решение будет несложным, но к Январю осознал, что предстоит нелегкая работа… Я забрал за обыкновение бродить любой вечер с одиннадцати до часу ночи и обучился различать три разных звука, каковые издает козодой. (Практически всем людей знаком только один звук.) Я сосредоточенно пробовал дать добро полученное мной несоответствие. Каждое утро я усаживался перед чистым листом бумаги и целый сутки (за исключением маленького перерыва на ленч) не сводил с страницы глаз. Частенько, в то время, когда наступал вечер, лист так и оставался безлюдным».
Выхода из этого несоответствия не было. Работа Рассела нанесла важный урон мечтам о математической системе, свободной от сомнений, парадоксов и противоречий. Он написал Фреге, рукопись книги которого уже пребывала в печати. Письмо Рассела фактически свело на нет работу всей жизни Фреге, но, не обращая внимания на смертельный удар, Фреге опубликовал свой magnum opus[13], несмотря на сообщение Рассела, и лишь добавил постскриптум ко второму тому: «Вряд ли что-нибудь возможно более нежелательным для ученого, чем сомнения в своей правоте в тот самый момент, в то время, когда он завершает свой труд. Как раз в таком положении я был, взяв письмо от мистера Бертрана Рассела в тот момент, в то время, когда моя работа уже обязана выйти из печати».
По иронии судьбы, найденное Расселом несоответствие выросло из столь любимых Фреге множеств. Через много лет в своей книге «Мое философское развитие» Рассел вспоминал тот броский движение рассуждений, который оспаривал работу Фреге: «Мне показалось, что множество время от времени может, а время от времени не может быть членом самого себя. К примеру, множество чайных ложек само не есть чайная ложечка, а множество вещей, не являющихся чайными ложечками, имеется одна из вещей, не являющихся чайной ложечкой». Именно это любопытное и на первый взгляд безобидное замечание Рассела стало причиной катастрофическому парадоксу.
Парадокс Рассела довольно часто растолковывают на примере истории о дотошном библиотекаре. в один раз, проходя между книжных полок, данный библиотекарь набрел на подборку каталогов. Там были отдельные каталоги художественной прозы, библиографических указателей, поэзии и т. д. Библиотекарь подчернул, что в одних каталогах имелись ссылки на самих себя, в то время как в других таких ссылок не было.
Дабы упростить систему регистрации книг, библиотекарь решил составить два новых каталога. В один из них он желал включить все каталоги, которые содержат ссылки на самих себя, а в другой — все каталоги, не которые содержат ссылки на самих себя. По завершении работы перед библиотекарем поднялась неприятность: необходимо ли включать в каталог всех каталогов, не содержащих ссылку на самих себя, его самого? В случае если его включить, то нарушится условие составления этого каталога. Но, по тому же условию, он должен быть включен. Наш библиотекарь был в безнадёжной ситуации. Каталоги в рассмотренном нами примере весьма похожи на множества, либо классы, каковые Фреге применял в качестве фундаментального определения числа. Следовательно, противоречивость, поразившая библиотекаря, формирует неприятности в самой структуре математики, которая по предположению считается логической. В математике нельзя допустить парадоксов и противоречий. К примеру, такое замечательное оружие, как подтверждение от противного, опирается на математику, свободную от противоречий. Подтверждение от противного говорит, что в случае если принятое допущение ведет к несоответствию, то оно должно быть фальшивым, а, по Расселу, кроме того аксиомы смогут приводить к несоответствию. Следовательно, подтверждение от противного имело возможность бы продемонстрировать, что аксиома фальшива, и однако аксиомы образуют основания математики, и их принято считать подлинными.
Многие мыслители скептически отнеслись к работе Рассела, ссылаясь на то, что развитие математики до того происходило в полной мере удачно и не встречало каких-либо парадоксов. Отвечая на критику, Рассел следующим образом растолковывал значение своей работы.

«Но, имеете возможность Вы возразить, нет ничего, что поколеблет Вашего убеждения в том, что два раза два равняется четыре. Вы совсем правы — за исключением незначительных частных случаев. Два должно быть двумя чего-то, и утверждение “два раза два равняется четырем” безтолку, в случае если его нереально применить к чему-либо. Две собаки и две собаки, очевидно, это четыре собаки. Но смогут представиться случаи, в то время, когда Вы усомнитесь в том, являются ли эти два животных псами. “По крайней мере, животных четверо”, — имели возможность бы возразить Вы. Но существуют микробы, довольно которых тяжело сообщить, животные они либо растения. “Замечательно, — возразите Вы, — пускай будут не животные, а живые организмы”. Но имеется такие объекты, довольно которых тяжело сообщить, живые они либо нет. Вам не останется ничего другого, как сообщить: “Две сущности и две сущности равны четырем сущностям”. Если Вы объясните мне, что Вы осознаёте под «сущностью», то спор можно будет назвать законченным».

Работа Рассела повергла основания математической логики в состояние хаоса. Логики ощущали, что парадокс, прячущийся в недрах математики, непременно высунет свою голову и приведёт к большим. Вместе с другими логиками и Гильбертом Рассел предпринял попытку исправить обстановку и вернуть пошатнувшееся здоровье математики.
Открывшееся несоответствие было прямым следствием работы с аксиомами, каковые до того предполагались самоочевидными и достаточными для построения другой математики. Один из выходов заключался в создании дополнительной аксиомы, которая запрещала бы любому множеству являться членом самого себя. Такая аксиома разрешила бы одолеть парадокс Рассела, потому, что ликвидировала бы вопрос о том, включать либо не включать в каталог каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, сам каталог каталогов.
Следующее десятилетие Рассел занимался анализом того, что образовывает самую сущность математики, — ее аксиом. В 1919 году он в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом опубликовал первый из трех томов «Principia Mathematica». В данной книге они предприняли успешную попытку решить проблему, вызванную парадоксом Рассела. В течение следующих двадцати лет многие математики применяли «Principia Mathematica» в качестве управления по возведению безукоризненного здания математики, и к 1930 году, в то время, когда Гильберт вышел в отставку, он мог быть уверен в том, что математика находится на верном пути к выздоровлению. Казалось, мечта Гильберта о непротиворечивой логике, достаточно замечательной чтобы ответить на любой вопрос, близится к осуществлению.
Но в 1931 году никому не узнаваемый двадцатипятилетний великий математик разместил статью, которая навсегда расстроила надежды Гильберта. Курт Гёдель вынудил математиков признать, что математика ни при каких обстоятельствах не станет логически идеальной. Неявно в его работе находилась и та идея, что кое-какие неприятности математики, к примеру, Великая теорема Ферма, могут быть неразрешимыми.

Курт Гёдель появился 28 апреля 1906 года в Моравии, входившей тогда в состав Австро-Венгрии, а сейчас образующей часть Чехии. В раннем детстве Гёдель перенес пара болезней, самым важным из которых был приступ ревматизма в шестилетнем возрасте. Дыхание смерти, которое Гёдель почувствовал в столь ласковом возрасте, стало причиной мучительной ипохондрии, которой он страдал всю жизнь. В восьмилетнем возрасте, просматривая медицинский учебник, Гёдель убедился, что у него не сильный сердце, не смотря на то, что ни один из докторов не обнаружил тревожных признаков. Позднее, уже в конце жизни, Гёдель ошибочно сделал вывод, что его желают отравить, и, отказавшись от приема пищи, уморил себя голодом.

Еще в юные годы Гёдель нашёл необычайные способности к естественным наукам и математике, и за свою пытливую натуру взял домашнее прозвище «господин Из-за чего» (der Herr Warum). Гёдель поступил в Венский университет, так и не сделав выбор между физикой и математикой, но вдохновленный зажигательными и страстными лекциями доктора наук Ф. Фуртвенглера по теории чисел, решил посвятить себя числам. Лекции были тем более необыкновенными, что Фуртвенглер, парализованный от шеи и ниже, должен был просматривать их, сидя в инвалидной коляске, без конспектов, а его ассистент создавал выкладки на доске.
К двадцати с маленьким годам Гёдель стал штатным сотрудником матфакультета, но совместно со своими сотрудниками часто принимал участие в совещаниях Венского кружка — группы философов, планировавших для дискуссии наиболее серьёзных неприятностей современной логики. Как раз в тот период у Гёделя сложились идеи, подорвавшие самые основания математики.
а весть о теореме Гёделя достигла Америки, великий великий математик Джон фон Нейман в тот же час же заменил часть своего курса о программе Гильберта дискуссией революционной работы Гёделя.
Гёдель доказал, что попытка создания полной и непротиворечивой математической системы — задача заведомо невыполнимая. Идеи Гёделя возможно коротко сформулировать в двух утверждениях. [14]

Первая теорема о неполноте
В случае если аксиоматическая теория непротиворечива, то существуют теоремы, каковые не смогут быть ни доказаны, ни опровергнуты.

Вторая теорема о неполноте
Непротиворечивость теории не может быть доказана теми способами, каковые в ней формализуются.

По существу, первая теорема Гёделя говорит, что какая бы система аксиом ни употреблялась, постоянно найдутся вопросы, на каковые математика не сможет отыскать ответ, — полнота недостижима. Что еще хуже, вторая теорема Гёделя говорит, что математики ни при каких обстоятельствах не смогут верить в том, что их выбор аксиом не приведет к несоответствию, — непротиворечивость ни при каких обстоятельствах не может быть доказана. Гёдель продемонстрировал, что программа Гильберта неосуществима.
Через пара десятилетий в своей книге «Портреты по памяти» Бертран Рассел обрисовывал свое впечатление от открытия Гёделя так: «Я жаждал определенности так же, как другие жаждут получить религиозную веру. Мне казалось, что отыскать определенность в математике возможно скорее, чем где-нибудь еще. Но я понял, что многие математические доказательства, каковые, в соответствии с ожиданиями моих преподавателей, мне надлежало принять за подлинные, обременены неточностями и что, в случае если определенность вправду возможно найдена в математике, то случится это в новой области математики с более надежными основаниями, чем те, каковые считались надежными прежде. По мере того, как работа продвигалась, мне неизменно приходила на ум басня о черепахе и слоне. Выстроив слона, на котором имел возможность покоиться математический мир, я понял, что слон нетвердо стоит на ногах, и приступил к построению черепахи, которая удержала слона от падения. Но черепаха была не более надежной, чем слон, и по окончании двадцати с лишним лет напряженнейшего труда я заключил, что ничто не я бы не сделал, чтобы придать математическому знанию непоколебимость».
Вторая теорема Гёделя говорит, что нереально доказать отсутсвие противоречий аксиом, но это не обязательно свидетельствует, что аксиомы противоречивы. Многие математики все еще верят в глубине сердца, что их математика останется непротиворечивой, но не смогут это доказать. Через много лет выдающийся эксперт по теории чисел Андре Вейль увидел: «Всевышний существует вследствие того что математика непротиворечива, а сатана существует вследствие того что мы не можем доказать это».
В конечном итоге, и доказательство и формулировка теорем неполноты Гёделя очень сложны. К примеру, строгая формулировка первой теоремы неполноты имеет следующий вид:

Gen r, ни Nеg(Gеn r) не в собственности Flg(k) ().

К счастью, подобно тому, как история с библиотекарем оказывает помощь осознать парадокс Рассела, первую теорему о неполноте Гёделя возможно проиллюстрировать на другой логической аналогии, которая в собственности Эпимениду и известна называющиеся парадокса критянина, либо парадокса лжеца. Эпименид был критянином, который вскрикнул:

Я лжец!

Парадокс появляется, в то время, когда мы постараемся выяснить, истинно либо ложно утверждение Эпименида. Посмотрим, что случится, в случае если высказать предположение, что это утверждение истинно. Из подлинного утверждения направляться, что Эпименид лжец. Но мы приняли предположение о том, что он высказал подлинное утверждение, и, следовательно, Эпименид не лжец. Мы приходим к несоответствию.
Сейчас предположим, что утверждение Эпименида ложно. Из ложности утверждения направляться, что Эпименид не лжец. Но мы приняли предположение, что он высказал фальшивое утверждение. Следовательно, Эпименид лжец, и мы опять приходим к несоответствию. Так, что бы мы не предположили об истинности утверждения Эпименида, мы неизменно приходим к несоответствию. Следовательно, утверждение Эпименида не истинно и не ложно.
Гёдель отыскал новую интерпретацию парадокса лжеца и ввел понятие доказательства. Результатом его новаций стало следующее утверждение:
Это утверждение не имеет никакого доказательства.
Если бы это утверждение было фальшивым, то оно было бы доказуемым, но это противоречило бы самому утверждению. Следовательно, чтобы не было несоответствия, утверждение должно быть подлинным. Но это утверждение не может быть подлинным в силу самого утверждения (о котором мы сейчас знаем, что оно должно быть подлинным).
Потому, что Гёделю удалось записать это утверждение в математических обозначениях, он смог доказать, что в математике существуют утверждения, каковые подлинны, но истинность их не может быть доказана, — так именуемые неразрешимые утверждения. Для программы Гильберта это было смертельным ударом.
Открытия в области квантовой физики во многом были схожи с данной работой Гёделя. За четыре года перед тем, как Гёдель напечатал свою работу о неразрешимости, германский физик Вернер Гейзенберг открыл принцип неопределенности. Подобно тому, как Гёдель открыл предел, до которого математики смогут обосновывать свои теоремы, Гейзенберг понял, что существует предел, до которого физики в принципе смогут создавать измерения свойств. К примеру, если они желают измерить правильное положение объекта, то скорость того же объекта им удастся измерить только со относительно большой погрешностью. Связано это с тем, что для измерения положения объекта последний нужно «обстрелять» фотонами света, но чтобы определить положение объекта, фотоны света должны владеть огромной энергией. Но в случае если объект бомбардировать фотонами высокой энергии, то личная скорость объекта будет испытывать сильнейшие возмущения и станет неизвестной. Следовательно, пробуя определить положение объекта, физики вынуждены поступиться правильным знанием его скорости.
Принцип неопределенности Гейзенберга проявляется лишь на ядерных масштабах, в то время, когда измерения с высокой точностью покупают решающее значение. Следовательно, большая часть физики может развиваться так же, как и прежде, тогда как квантовые физики занимаются изучением глубоких вопросов относительно пределов знания. То же самое происходит и в мире математики. Тогда как логики ведут доступные пониманию только посвященных дискуссии о неразрешимости, другая часть математического сообщества продолжает свои изучения, не обращая внимание на то, что происходит у логиков. Не смотря на то, что Гёдель доказал, что существуют кое-какие недоказуемые утверждения, в математике существует предостаточно доказуемых утверждений, и его открытие не обесценило доказанных в прошлом теорем. Помимо этого, многие математики были уверенный в том, что неразрешимые утверждения Гёделя существуют лишь в самых «чёрных» областях математики, находящихся где-то на ее периферии, и что такие неразрешимые утверждения, быть может, ни при каких обстоятельствах не встретятся ни одному математику. Так как Гёдель утверждал только, что такие утверждения существуют, но не привел никого из них как пример. Но в 1963 году предсказанный Гёделем теоретический кошмар стал действительностью.
Пауль Коэн, двадцатидевятилетний великий математик из Стэнфордского университета, создал способ, разрешающий контролировать разрешимость того либо иного вопроса. Способ Коэна работает в некоторых очень особых случаях, но однако Коэн был первым, кому удалось найти конкретные неразрешимые вопросы. Совершив это открытие, Коэн срочно вылетел в Принстон. Он желал, дабы правильность его работы проверил сам Гёдель. К тому времени Гёдель был не легко болен (диагноз медиков гласил: паранойя). Он только легко немного открыл дверь, оторвал из рук Коэна бумаги и захлопнул дверь. Через два дня Коэн был приглашен в дом Гёделя на чай — символ того, что маэстро скрепил подтверждение печатью своего авторитета. Особенный драматизм ситуации придало то событие, что кое-какие из неразрешимых вопросов занимают в математике центральное место. По иронии судьбы, Коэн доказал неразрешимость одной из двадцати трех неприятностей Гильберта — догадки континуума.
Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным посланием всем математикам, любителям и профессионалам, каковые продолжали свои попытки доказать Великую теорему Ферма. А что, в случае если Великая теорема Ферма неразрешима?! А что если Пьер де Ферма заблуждался, в то время, когда утверждал, что располагает доказательством? В случае если так, то подтверждение Великой теоремы Ферма может оказаться не просто тяжёлым, а неосуществимым. В случае если Великая теорема Ферма неразрешима, то математики столетиями пробовали отыскать подтверждение, которое не существует.
Весьма интересно подметить, что если бы Великая теорема Ферма была неразрешимой, то из этого следовало бы, что она подлинна. Обстоятельство содержится в следующем. Великая теорема Ферма говорит, что уравнение

xn + yn = zn

при n, бы, что Великая теорема Ферма разрешима. Итак, если бы теорема была фальшивой, то это противоречило бы ее неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была подлинной, то столь определенный метод ее доказательства не обязательно существовал бы, т. е. она имела возможность бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая теорема Ферма подлинна, но не существует метода доказать ее.