Великой теореме Эмми Нётер — 100 лет

Первая страница статьи Эмми Нётер Invariante Variationsprobleme, размещённая в издании Nachrichten von der Konighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Math.-Phys. Klasse. Изображение с сайта navier-stokes-equations.com

Ровно сто лет назад на семинаре Геттингенского математического общества была представлена теорема, которая со временем стала наиболее значимым инструментом в математической и теоретической физике. Она связывает каждую постоянную симметрию физической совокупности с некоторым законом сохранения (к примеру, в случае, если в изолированной совокупности частиц процессы инвариантны относительно сдвига по времени, то в данной совокупности выполняется закон сохранения энергии). Доказала эту теорему Эмми Нётер— и результат, наровне с последовавшими наиболее значимыми работами по абстрактной алгебре, заслуженно разрешает многим вычислять Нётер величайшей дамой в истории математики.

Исторические ассоциации

Для начала — маленькое, но поучительное отступление от главной темы. В 60-е годы ХХ века на встрече со студентами МГУ превосходный столичный великий математик Дмитрий Евгеньевич Меньшов говорил о Столичной математической школе:

«В 1914 году я поступил в МГУ. Николай Николаевич Лузин тогда был за рубежом. Но он договорился с Дмитрием Федоровичем Егоровым, что они организуют семинарий для студентов.

И в 1914 году Дмитрий Федорович таковой семинарий организовал. Он был посвящен числовым последовательностям. В следующем году Николай Николаевич возвратился в Москву и начал руководить семинарием сам.

В 1915 году мы занимались функциональными последовательностями, а в 1916 году — ортогональными последовательностями.

А позже наступил тысяча почти тысячу семнадцатый год. Это был весьма памятный год в нашей жизни, в тот год случилось наиболее значимое событие, повлиявшее на всю отечественную предстоящую судьбу: мы стали заниматься тригонометрическими последовательностями…»

Итак, для Меньшова главным событием 1917 года был переход к изучению тригонометрических последовательностей! Не напрасно же иногда утверждают, что у математиков восприятие окружающего мира пара необычно.

Подобным образом имели возможность бы охарактеризовать произошедшее в финише июля 1918 года доктора наук известного матфакультета Геттингенского университета. Мир около них рушился, не смотря на то, что, быть может, они этого еще не осознали. На Западном фронте бесславно закончилась Вторая битва на Марне — последнее масштабное наступление кайзеровских армий, ставшая прелюдией поражения Германии в Великой Войне. 16 июля в подвале Ипатьевского дома убили царскую семью и ее немногочисленную свиту.

В эти роковые дни, правильнее 23 июля, участники семинара Геттингенского математического общества заслушали сообщение о теореме, которая со временем превратилась в очень действенный инструмент фундаментальной науки. В осеннюю пору расширенный и доработанный текст доклада был размещён в издании Nachrichten von der Konighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Math.-Phys. Klasse.

Эта статья, озаглавленная Invariante Variationsprobleme, вошла в золотой фонд математической и теоретической физики (дешёвы оригинал на немецком и перевод на английский).

Юная Эмми Нётер (до 1910 года). Фото с сайта en.wikipedia.org

У ее автора тогда не было никакого формального статуса в германском отвлечённом мире. Не смотря на то, что 36-летняя Эмми Нётер успела обезопасисть диссертацию и опубликовала 12 уникальных работ, ее пол абсолютно перекрыл возможность войти в университетские круги Германии. В частности, она не имела возможности (а также в будущем не смогла) стать участником Королевского научного общества Геттингена, где ее работу спустя три дня по окончании доклада представил великий великий математик Феликс Клейн (в полной мере быть может, что Эмми Нётер кроме того не находилась на этом совещании).

Да и позднее, уже в двадцатые годы, став великим математиком с мировым именем, она была вынуждена ограничиваться в Геттингенском университете до неприличия низким жалованьем и весьма скромным положением. Быть может, в этом были повинны и ее иудейское происхождение, и очень левые взоры.

Продолжительный путь квершинам

Великие математики в большинстве случаев проявляют собственные неповторимые свойства с ранних лет. Но нет правил без исключений.

Макс Нётер (1844–1921). Фото с сайта en.wikipedia.org

Эмми Нётер (Amalie Emmy Noether) появилась 23 марта 1882 года в провинциальном баварском городе Эрлангене. С 1743 года в том месте существовал «вольный» (другими словами, не связанный с религиозными деноминациями) университет имени Фридриха-Александра, один из трех в тогдашней Германии (два вторых были созданы ранее в Галле и Геттингене). Учили в том месте хорошо, но особенными научными достижениями его профессура похвастаться не имела возможности. Действительно, в 1872–75 годах в Эрлангене трудился юный Феликс Клейн.

При вступлении в должность он прочел ставшую известной лекцию «Сравнительное рассмотрение новых геометрических изучений», где находились наброски замысла радикального обновления геометрии на базе абстрактной алгебры, включая теорию групп. Эта лекция, вошедшая в историю науки как Эрлангенская программа, была ответственной вехой для развития математики второй половины XIX века. Но Клейн через три года поменял Эрланген на Мюнхен. По окончании него в штате университета Фридриха-Александра состояли математики хоть и хорошие, но не первого ранга.

Одним из них был папа Эмми, занимавший профессорскую кафедру до 1919 года. Макс Нётер плодотворно занимался алгебраической геометрией, в 1870-е годы доказал (один либо в соавторстве) пара очень нетривиальных теорем, но после этого посвятил себя одному только преподаванию. В том месте же просматривал лекции известный алгебраист Пауль Гордан, что со временем сыграл большую роль в судьбе дочери собственного коллеги.

Маленькая Эмми была самым простым ребенком — умная девочка и милая, но отнюдь не вундеркинд. В семь лет она поступила в муниципальную женскую гимназию, где обучалась отлично, но не блестяще. В апреле 1900 года сдала национальные экзамены, дающие право преподавать британский и французский языки в женских школах королевства Бавария. Но вместо того, дабы искать место учительницы, она поступила вольнослушателем в Эрлангенский университет, потому, что в полноправные студенты девушек тогда не брали. Зимний период 1903–04 годов она совершила семестр в Геттингене, где слушала лекции таких звезд германской науки, как математики Герман Минковский, Феликс Давид и Клейн астрофизик и Гильберт Карл Шварцшильд.

По возвращении в Эрланген она в осеннюю пору 1904 года взяла университетский диплом по профессии «математика». Это разрешило ей продолжить образование на философском факультете, где в декабре 1907 года под управлением Гордана она защитила диссертацию , а также с отличием — summa cum laude. В будущем году ее диссертация показалась в очень респектабельном «Издании чистой и прикладной математики» (Journal fur die reine und angewandte Mathematic), более известном по имени собственного основателя как издание Крелля (Crelle’s Journal).

Это была ее первая научная публикация, причем очень солидного количества — 68 страниц (чуть раньше трехстраничный дайджест данной работы показался в сборнике трудов Физико-Медицинского общества Эрлангена).

Феликс Клейн (1849–1925) и Давид Гильберт (1862–1943). Фотографии с сайта ru.wikipedia.org

По окончании защиты Эмми семь с половиной лет оставалась в Эрлангене в очень неясной роли неоплачиваемого и не имеющего должности сотрудника университетского Математического университета. Она руководила несколькими докторантами, время от времени подменяла отца в качестве лектора и, само собой разумеется, занималась собственными изучениями. В 1909 году она взяла первое институциональное признание, став участником Германского математического общества.

Приблизительно до 1911 года Эмми Нётер в неспециализированном не выходила из круга неприятностей, которыми занималась при подготовке диссертации. Они полностью лежали в области научных заинтересованностей Пауля Гордана. Эти задачи потребовали трудоемких вычислений, но в идейном замысле ничего особого не воображали. Через много лет она сказала о них без мельчайшего пиетета а также признавалась, что совсем позабыла формальный аппарат, которым некогда пользовалась.

Но в ретроспективе разумеется, что купленный опыт много помог для доказательства ее великой теоремы.

На этом стоит остановиться подробнее. Пауль Гордан с финиша 1860-х годов занимался алгебраическими инвариантами, став одним из наибольших экспертов в данной области математики. Исторически эти изучения восходят к трудам таких титанов, как Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж и, в особенности, Карл Фридрих Гаусс, каковые вышли на эти неприятности в рамках теории чисел.

В данной теории большую роль играются так именуемые алгебраические формы — однородные полиномы любой степени от двух либо большего числа переменных. Самый простой из них в стандартной записи выглядит так:

   

где x и y — свободные переменные, a, b и с — постоянные коэффициенты.

Это двоичная квадратичная форма, в противном случае говоря, форма второй степени от двух переменных. Тернарная (другими словами, от трех переменных x, y и z) квадратичная форма выглядит подобно, лишь дольше:

   

Для примера возможно еще выписать и двоичную кубическую форму:

   

Предстоящие примеры, предположительно, излишни.

Переменные, сколько бы их ни было (то имеется, какова бы ни была размерность пространства этих переменных) возможно подвергнуть линейному преобразованию (перейти к новым переменным, каковые будут линейными комбинациями ветхих). Геометрически такое преобразование свидетельствует поворот координатных осей с одновременным трансформацией масштаба длины на протяжении каждой оси. При записи формы в новых переменных ее коэффициенты, само собой разумеется, изменяются. Но же, и это самое ответственное, кое-какие функции от этих коэффициентов или сохраняют собственный численное значение, или умножаются на неспециализированный множитель, что зависит только от конкретного преобразования переменных.

Эти функции и именуются алгебраическими инвариантами. В случае, если множитель, о котором идет обращение, равен единице, инвариант именуется безотносительным. Легко продемонстрировать, что инвариантом (не смотря на то, что и не безотносительным) двоичной квадратичной формы помогает ее дискриминант на данный момент(b^2-ac\), отлично узнаваемый из школьной алгебры.

Двоичная кубическая форма имеет уже множество инвариантов. Кроме того несложный из них, отысканный в 1844 году германским великим математиком Фердинандом Эйзенштейном, куда дольше: .

Ясно, что различные типы алгебраических форм имеют различные семейства инвариантов, подчас весьма бессчётные. Их вычислением многие годы занимался Гордан, которого не напрасно именовали королем теории инвариантов. Конкретно такую задачу — отыскать полный комплект инвариантов тернарной биквадратичной формы — он внес предложение собственному единственному докторанту Эмми Нётер.

Она ее блестяще решила, составив перечень аж из 300 тридцати одного инварианта! Возможно, эта работа ей так надоела, что много лет спустя она охарактеризовала ее как бредятину — с возрастом она стала очень остра на язык.

В 1910 году Гордан подал в отставку. Через год его кафедру занял Эрнст Фишер (Ernst Fischer), ученый с куда более современными математическими заинтересованностями. Общение с Фишером облегчило Эмми Нётер знакомство со многими новыми идеями, в частности, с работами в области абстрактной теории и алгебры постоянных групп. Тем самым ее научные устремления сблизились с заинтересованностями Давида Гильберта и других геттингенских математиков, каковые не шутя заинтересовались ее работами. Так и оказалось, что весной 1915 года Гильберт и Клейн пригласили Нётер перебраться в собственный университет, рассчитывая обеспечить ей должность приват-доцента.

Но тогда из этого ничего не вышло. Не обращая внимания на представленный соискателем в ноябре 1915 года доклад, университетский Сенат отказал Эмми Нётер в утверждении «из-за неисполнения формальных правил». Имелось в виду утвержденное в 1908 году положение, в соответствии с которому приват-доцентами могли быть лишь приятели.

Защитники Эмми апеллировали к министру культуры, но он отказался вмешиваться. В соответствии с распространенной легенде, конкретно в данной связи Гильберт заявил сотрудникам, что не видит, с какой стати пол кандидата возможно препятствием к занятию должности приват-доцента, потому, что университет — это все же не баня.

Кроме того если он так и сообщил (документальных подтверждений этому нет), его ядовитая риторика не возымела действия. Еще три года Эмми практически трудилась как помощник Гильберта и время от времени просматривала вместо него лекции, но, как и в Эрлангене, всего лишь на птичьих правах. Лишь в 1919 году, уже в эру Веймарской республики, она наконец-то стала приват-доцентом, и вдобавок четыре года спустя университет почтил ее достаточно необычным титулом неофициального феноменального доктора наук (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor).

Действительно, это звание, как и приват-доцентура, не давало права на регулярное жалованье. Но другой звезде и Гильберту геттингенской математики Рихарду Куранту удалось пробить для нее в университете занятия по алгебре, каковые все же оплачивались, не смотря на то, что и весьма робко (200–400 марок в месяц), причем ее договор потребовал ежегодного подтверждения от прусского Министерства науки, просвещения и искусств. В этом качестве Эмми Нётер проработала в Геттингене до 1933 года.

По окончании прихода к власти Гитлера, в то время, когда ученые-иудеи были изгнаны из германских университетов, она переехала в США.

Теорема по заказу

Практически сразу после приезда Эмми Нётер вГеттинген в том месте случились события, каковые стали прелюдией к ее первой великой работе. Летом 1915 года Альберт Эйнштейн в шести лекциях ознакомил геттингенских сотрудников с главными идеями собственной (тогда еще не законченной, но уже близкой к завершению) релятивистской теории гравитации, более известной как неспециализированная теория относительности. Среди слушателей был и Гильберт, что без шуток заинтересовался эйнштейновскими идеями. В ноябре Эйнштейн написал окончательную версию уравнений ОТО, о чем доложил на четырех совещаниях Прусской Академии наук (см. Столетие ОТО, либо Юбилей «Первой ноябрьской революции»).

Чуть позднее Гильберт заново вывел эти уравнения на базе принципа мельчайшего действия, о чем и сообщил в статье, размещённой в финише марта 1916 года. Данный вывод красивее начального вывода Эйнштейна и заслуженно фигурирует во многих книжках, к примеру, в «Теории поля» Ландау и Лифшица.

В ходе данной работы Гильберт столкнулся с очень значительной проблемой. Он осознал, что новая теория гравитации заставляет в противном случае посмотреть на священную корову физики — закон сохранения энергии. Ньютоновская теория тяготения и максвелловская электродинамика вычисляют энергию измеримой физической величиной, которая выяснена в любой точке пространства и в любой момент времени (либо в любой точке пространства-времени, в случае, если воспользоваться языком особой теории относительности).

В теории Эйнштейна такая интерпретация сталкивается с затруднениями, каковые и увидел Гильберт.

Для начала — одно уточнение. Ньютоновская гравитация не владеет собственной динамикой, потому, что трансформации поля тяготения появляются лишь благодаря перемещений создающих его тел. Электромагнитное поле, наоборот, динамично само по себе. В нем вероятны волновые процессы, каковые переносят энергию.

Но суммарный поток энергии электромагнитного поля через границы любой замкнутой области пространства равен скорости трансформации полной энергии, содержащейся в этом количестве. Это и имеется закон сохранения электромагнитной энергии в физически осмысленной форме.

Иное дело эйнштейновское тяготение. В отличие от ньютоновского, оно динамично, и в нем, как и в электромагнитном поле, вероятны волновые процессы. Но его динамика значительно сложнее. Уравнения ОТО смогут быть записаны в произвольных совокупностях пространственно-временных координат, между которыми вероятны ровные преобразования. За счет таких преобразований возможно занулить величину поля тяготения в любой произвольно выбранной точке и ее вечно малой окрестности.

Физически это указывает, что в том направлении возможно посадить мнимого наблюдателя, что не сможет зарегистрировать силу тяготения (в этом и состоит эйнштейновский принцип эквивалентности). Из этого следует, что в ОТО однозначная локализация энергии в принципе неосуществима. Вопрос, как быть с законом ее сохранения, очень сильно тревожил Гильберта, и он попросил Эмми Нётер с этим разобраться.

Эта задача и привела Нётер к ее теореме.

Само собой разумеется, Гильберт сделал выбор не на безлюдном месте. Он знал, как блестяще Нётер показала собственный математический дар при вычислении алгебраических инвариантов. Анализ условий, при которых выполняются законы сохранения физических размеров (в частности, энергии) кроме этого потребовал работы с инвариантами, но иного рода — дифференциальными (см.: Differential invariant).

Так что у Гильберта, равно как и у заинтересованного в данной же проблеме Феликса Клейна, были все основания рассчитывать на помощь собственной бывшей студентки.

Эти ожидания она не только оправдала, но и превзошла. Эмми Нётер вероятнее приступила к исполнению гильбертовского задания в осеннюю пору 1915 года. В финише финишей она взяла очень сильные результаты, чья область применения была довольно много шире рамок задачи, изначально поставленной Гильбертом.

Как выяснилось, эта область включает не только ОТО и другие полевые теории классической физики, но и теории квантованных полей, развитые во второй половине двадцатого века. Очевидно, в 1918 году оснований ожидать для того чтобы успеха просто не существовало.

В самой неспециализированной форме сущность теоремы Нётер возможно выразить практически в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые стремятся обнаружить те характеристики физических совокупностей, каковые остаются неизменными в ходе процессов, в которых задействованы эти совокупности. К примеру, отечественная планета движется по собственной орбите с переменной скоростью, но мнимый отрезок, соединяющий ее с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади (второй закон Кеплера).

Полный заряд изолированной макроскопической совокупности не изменяется, какие конкретно бы внутренние превращения она ни претерпевала; совершенно верно так же, полным постоянством отличаются и заряды элементарных частиц. Из теоремы Нётер направляться, что само существование аналогичных сохраняющихся особенностей конкретно связано с симметриями некоей фундаментальной физической величины, которая определяет динамику совокупности. Выражаясь в противном случае, законы сохранения оказываются прямым следствием наличия тех либо иных симметрий. Данный вывод стал самым универсальным инструментом обнаружения таких законов во множестве областей физики от ньютоновской механики до современной Стандартной модели элементарных частиц.

Кроме этого, его возможно назвать одним из самые красивых теоретических прозрений во всей истории науки.

Величина, о которой только что шла обращение, именуется действием. Ее конкретный вид зависит от совокупности, чье поведение она обрисовывает. По форме это одномерный либо многомерный интеграл от столь же фундаментального функционала — лагранжиана.

В настоящих физических процессах воздействие принимает экстремальное значение — значительно чаще, достигает минимума. Это утверждение, не в полной мере совершенно верно именуемое принципом мельчайшего действия, разрешает с помощью способов вариационного исчисления записывать уравнения, обрисовывающие динамику совокупности.

Как уже говорилось, конкретно таким способом Гильберт взял уравнения ОТО в противном случае, нежели это сделал Эйнштейн. Очевидно, ему сперва потребовалось выяснить, как в данном случае выглядит воздействие и лагранжиан, в чем он и преуспел (практически в один момент вывод уравнений ОТО на базе принципа мельчайшего действия осуществил Хендрик Антон Лоренц, а в 1916 году — и сам Эйнштейн). Не вдаваясь в подробности, отмечу, что гильбертовский лагранжиан (Einstein–Hilbert action) зависит от компонентов метрического тензора, определяющих деформацию пространственно-временного континуума, которая, в соответствии с ОТО, проявляет себя как сила тяготения.

Сейчас возвратимся к Эмми Нётер. В ее статье задействована довольно высокая математика, которую никак не обрисовать словами. Все, что возможно сделать — обрисовать неспециализированную идею. Подобно Гильберту, она трудилась с принципом мельчайшего действия.

Ее интересовали последствия математических операций, каковые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, но оставляют неизменной его численную величину — либо, в более неспециализированном случае, изменяют ее не через чур очень сильно (само собой разумеется, для этого «не через чур» имеется правильное математическое определение). Это указывает, что подобные операции оставляют воздействие инвариантным. Инвариантность по отношению к определенному преобразованию либо кроме того целому классу преобразований именуется симметрией.

Эмми Нётер в собственной работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех либо иных симметрий.

Эту задачу она решала в весьма неспециализированной форме, но с одним значительным ограничением. Преобразования симметрии смогут быть как постоянными, так и дискретными. Примеры первых — сдвиги на протяжении координатных осей либо повороты на произвольные углы. Дискретные преобразования, наоборот, допускают только конечное либо, максимум, счетное число трансформаций. К примеру, окружность остается неизменной при любых поворотах около собственного геометрического центра, а квадрат — лишь при поворотах, кратных 90 градусам.

В первом случае мы имеем дело с постоянной симметрией, во втором — с дискретной. И те, и другие симметрии описываются с помощью теории групп, но наряду с этим используются различные ее ветви. Дискретные преобразования, интересующие физику, применяют теорию групп с конечным числом элементов. Для описания постоянных симметрий применяют нескончаемые группы определенного типа, каковые именуются группами Ли в честь великого норвежского математика Софуса Ли. Эмми Нётер изучила связь между непрерывными симметриями и законами сохранения, исходя из этого в собственной работе она пользовалась теорией групп Ли.

Необходимо подчеркнуть, что дискретные симметрии также смогут привести к тем либо иным законам сохранения, но в этом случае теорема Нётер непременима.

К началу второго десятилетия прошлого века теория групп Ли была отлично создана не только самим Ли, но и другими математиками, в первую очередь немцем Вильгельмом Киллингом и французом Эли Картаном. Тогдашние физики фактически не были с ней привычны, но у Эмми Нётер, было желание и время изучить ее еще в Эргангене. Сейчас же она ее применила — и с громадным успехом.

Эмми Нётер разглядела преобразования симметрии, в которых трудятся группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то имеется, любой элемент группы Ли) зависит от конечного (возможно кроме того и счетного) количества численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, наоборот, зависят от того либо иного числа произвольных функций. К примеру, плоские вращения определяются одним параметром (углом поворота), а пространственные — тремя (каждое из них возможно представить как последовательность вращений около трех координатных осей). Наоборот, эйнштейновская ОТО основана на принципе полной ковариантности уравнений, то имеется возможности записать их в любой четырехмерной совокупности координат (что физически свидетельствует возможность произвольно выбрать локальную совокупность отсчета в любой точке пространства-времени).

Это также разновидность симметрии, причем конкретно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.

Как следствие, теорема Нётер складывается из двух частей. Сперва она разглядела инвариантность действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность разрешает записать математические соотношения, каковые возможно трактовать как законы сохранения физических размеров, удовлетворяющих этим симметриям.

А вдруг несложнее, то эти законы имеется прямые следствя тех либо иных симметрий.

Вот пара примеров. Заберём изолированную (то имеется свободную от внешних действий) совокупность частиц, каковые подчиняются ньютоновской ньютоновской теории и механике тяготения (в роли частиц смогут выступать планеты, обращающиеся около условно неподвижной звезды). Для таковой совокупности воздействие инвариантно относительно сдвигов времени.

Из теоремы Нётер направляться, что полная (кинетическая и потенциальная) энергия частиц не зависит от времени, то имеется сохраняется. Подобно, инвариантность довольно произвольных сдвигов в пространстве свидетельствует сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений — сохранение момента количества перемещения.

Само собой разумеется, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась таинственной, в случае, если угодно, загадочной. Теорема Нётер раз и окончательно сняла покров с данной тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.

Подобна и обстановка для совокупностей, каковые описываются релятивистской механикой. Тут нет поделённых времени и пространства, на смену им пришел единый четырехмерный пространственно-временной континуум, известный как пространство Минковского. Большая симметрия для того чтобы пространства-времени дается десятипараметрической группой Ли, известной как несколько Пуанкаре. У нее имеется четырехпараметрическая подгруппа, которой отвечают сдвиги в пространстве Минковского. Инвариантность действия довольно этих сдвигов ведет к сохранению четырехмерного вектора, одна из компонент которого соответствует энергии, а три — импульсу.

Из этого следует, что в каждой инерциальной совокупности отсчета импульс и энергия сохраняются (не смотря на то, что их численные размеры в разных совокупностях не однообразны).

Все эти выводы были очевидны сразу после публикации теоремы Нётер. Вот еще один пример, что был осознан, в то время, когда была выстроена квантовая электродинамика. До сих пор обращение шла о внешних симметриях, связанных не с самой физической совокупностью, а с ее, в случае, если так возможно выразиться, отношениями с пространством и временем. Но теорема Нётер разрешает учесть и внутренние симметрии, в противном случае говоря, симметрии физических полей, «вписанных» в лагранжиан (для любителей точности — симметрии математических конструкций, воображающих эти поля).

Эта возможность также ведет к открытию разных законов сохранения.

Заберём лагранжиан свободного релятивистского электрона, что разрешает вывести известное уравнение Дирака. Он не изменяется при таком преобразовании волновой функции, которое сводится к ее умножению на комплексное число с единичным модулем. Физически это указывает изменение фазы волновой функции на постоянную величину, не зависящую от пространственно-временных координат (такая симметрия именуется глобальной).

Геометрически это преобразование эквивалентно плоскому повороту на произвольный, но фиксированный угол. Следовательно, оно описывается однопараметрической группой Ли — так называемой группой U(1). В силу исторической традиции, восходящей к великому ученику и математику Гильберта Герману Вейлю, ее относят к многочисленной группе симметрий, именуемых калибровочными.

Из теоремы Нётер направляться, что глобальная калибровочная симметрия этого типа влечет за собой сохранение заряда. Не не сильный итог, и уж отнюдь не тривиальный!

Вторая теорема Нётер не столь прозрачна. Она обрисовывает обстановке, в то время, когда преобразования симметрии, оставляющие воздействие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. Оказалось, что в неспециализированном случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых размеров. В частности, из второй теоремы Нётер направляться, что в неспециализированной теории относительности не существует универсальных законов сохранения энергии, момента и импульса импульса, каковые имели бы однозначный суть в физически настоящих (то имеется не бесконечно малых) областях пространства-времени.

Действительно, имеется частные случаи, в то время, когда в рамках ОТО возможно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Но в целом ответ данной задачи зависит от того, что именно вычислять энергией поля тяготения и в каком смысле сказать о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, каковые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (иначе говоря в пространстве с изменяющейся метрикой).

Так, в отечественной расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения непрерывно теряют энергию — это всем узнаваемый феномен космологического красного смещения.

Две судьбы

Статья в Nachrichten существенно продвинула научную карьеру Эмми Нётер. На фоне послевоенного ослабления мужского шовинизма 21 мая 1919 года философский факультет Геттингенского университета дал согласие принять эту публикацию в качестве квалификационной диссертации (Habilitation), нужной чтобы получить должность приват-доцента. Уже спустя семь дней Нётер сдала положенный устный экзамен, а 4 июня прочла для участников математического отделения факультета пробную лекцию.

С осеннего семестра она приступила к чтению первого собственного курса.

Затем судьбы теоремы Нётер и ее автора решительно разошлись. Эмми Нётер больше ни при каких обстоятельствах не занималась физикой, абсолютно переключившись на абстрактную алгебру. В данной скоро развивающейся области математики она взяла фундаментальные, в полном смысле основополагающие результаты в теории колец и алгебраической геометрии.

О них возможно говорить весьма долго, но это совсем вторая история.

Спокойная и профессионально насыщенная судьба Эмми Нётер в Геттингене оборвалась с приходом фашистов. В апреле 1933 года Министерство науки, просвещения и искусства отменило ее разрешение преподавать в Геттингенском университете (это же распоряжение лишило профессорских должностей Куранта и одного из создателей квантовой механики Макса Борна). Через пара месяцев Эмми Нётер эмигрировала в США, где с помощью Фонда Рокфеллера взяла гостевой договор на преподавание в элитном женском колледже Брин-Мар в штате Пенсильвания.

С февраля 1934 года она кроме этого начала читать еженедельные лекции в расположенном недалеко Принстонском университете перспективных изучений (но не в Принстонском университете, куда дамы в те времена совсем не допускались). Летом она ненадолго съездила в Геттинген, вопользовавшись новообретенным статусом зарубежного ученого, а затем окончательно покинула Германию. Но жить ей оставалось уже недолго. 14 апреля 1935 года Эмми Нётер скончалась из-за осложнений по окончании операции  — вероятнее, из-за тяжелой инфекции.

В письме, опубликованном 5 мая на страницах «Нью-Йорк Таймс», Альберт Эйнштейн отметил: „in the judgment of the most competent living mathematicians, Fraulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began“ («как вычисляют самые компетентные современные математики, фрейлейн Нётер показала в собственном математическом творчестве столь высокую степень гениальности, какой с того времени, как дамы получили право на высшее образование, не удалось достигнуть никому»). А девятью днями ранее Герман Вейль в посвященной ее памяти лекции сообщил: „she was a great mathematician, the greatest … that her sex has ever produced, and a great woman“ («она была великой дамой и наряду с этим величайшей дамой-математиком»).

Эмми Нётер (пятая справа) с друзьями и коллегами в 1933 году. Четвертый слева — Герман Вейль. Фото с сайта opc.mfo.de

При жизни и практически сразу после смерти Эмми Нётер ей воздавали дань уважения фактически только из-за алгебраических иследований. Как ни необычно это на данный момент выглядит, ее великую теорему фактически никто не увидел. Само собой разумеется, эту работу высоко оценили и Гильберт, и представивший ее Королевскому обществу Клейн, но дальше этого не пошло. Кроме того Герман Вейль, что довольно много занимался теоретической физикой, и, в частности, симметрией, не отыскал нужным упомянуть ее в вышедшей в 1928 году фундаментальной монографии «Теория квантовая механика и групп».

Думается, единственный маленький, пересказ работы Эмми Нётер в хороших математических трудах первой трети прошлого века возможно отыскать в известной книге Куранта и Гильберта «Способы математической физики», вышедшей первым изданием в 1924 году.

Обстоятельства для того чтобы забвения возможно продолжительно обсуждать, но это через чур на большом растоянии от главной темы. Как бы то ни было, впредь до середины ХХ века физики практически не ссылались на статью Нётер, не смотря на то, что ее результаты были не только достаточно известны, но и многократно употреблялись. В 50-е годы обстановка изменилась.

Это в первую очередь связано с проснувшимся интересом к роли симметрий в квантовых теориях поля, что последовал за размещённой в 1954 году статьей сотрудников Брукхейвенской национальной лаборатории Чжэньнина Янга и Роберта Миллса Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Соавторы «изобрели» названные их именами квантовые поля, основанные на калибровочной симметрии изотопического поясницы. В отличие от симметрии, которая снабжает сохранение заряда, она была не глобальной, а локальной — в том смысле, что параметры групповых преобразований в их работе были функциями пространственных координат.

Это и имеется тип симметрии, что Эмми Нётер разглядывала во второй теореме.

Как мы знаем, конкретно освоение локальных калибровочных симметрий разрешило выстроить в 1970-е годы Стандартную модель элементарных частиц — самоё серьёзное достижение теоретической физики второй половины ХХ века. Но еще за несколько десятилетий до ее создания теорему Нётер начали цитировать в монографиях и физических статьях. на данный момент ее работа признана высокой классикой науки.

Напоследок хотелось бы разрешить читателю еще на одном примере ощутить вкус применения симметрий, рассмотренных Эмми Нётер в ее второй теореме. Возвратимся к калибровочной группе U(1), но сейчас сделаем поворот фазы переменной величиной, функцией пространственно-временных координат. В данном случае мы имеем дело не с глобальными, а с локальными калибровочными преобразованиями.

Напомню, что это именно тот тип групповых преобразований, каковые обрисовывает вторая теорема Нётер.

Лагранжиан Дирака сам по себе не инвариантен довольно локальной группы U(1) — следовательно, не инвариантно и воздействие. Но инвариантность возможно вернуть, в случае, если в лагранжиан добавить силовое поле, кроме этого подчиняющееся некоей локальной симметрии. В результате таковой операции в лагранжиане машинально появляется дополнительный член, что обрисовывает сотрудничество этого поля с электронами. Само поле представляет собой квантовую версию электромагнитного излучения. Так что требование локальной калибровочной симметрии типа U(1) для поля Дирака машинально ведет к выводу, что электроны взаимодействуют при помощи обмена квантами электромагнитного поля, то имеется фотонами!

А в качестве дополнительной премии возьмём еще одно утверждение — эти кванты владеют нулевой массой!

Данный вывод возможно сформулировать в противном случае. Для существования локальной инвариантности относительно группы U(1) нужно, дабы сохраняющийся заряд был источником безмассового векторного поля (фотоны — векторные частицы, частицы со поясницей 1). Свойство заряда порождать фотоны есть его неповторимым свойством. Элементарные частицы владеют и другими сохраняющимися зарядами (к примеру, барионным и лептонным). Но, как направляться из экспериментальных данных, эти заряды не генерируют безмассовые векторные поля — то имеется, опыт не подтверждает существование барионных и лептонных аналогов фотонов.

Этим зарядам соответствуют только глобальные, а не локальные симметрии типа U(1).

Данный пример отнюдь не единичен. Симметрии второй теоремы Нётер разрешают установливать основные соответствия между особенностями полей и частиц, с которыми эти частицы смогут взаимодействовать. Опять-таки — куда как не слабо!

Не просто так узнаваемый американский физик доктор наук Калифорнийского университета Энтони Зи (Anthony Zee) в вышедшей в 2016 году монографии Group Theory in a Nutshell for Physicists увидел, что, по всей видимости, Эмми Нётер — наилучшая из дам-физиков, в то время, когда или живших на этом свете („arguably the deepest woman physicist who ever lived“). Столь высокая оценка — и всего лишь из-за единственной статьи!

И еще одна любопытная подробность. Идею калибровочной симметрии в первый раз внес предложение Вейль в статье Gravitation and Electricity, размещённой в Берлине все в том же 1918 году. Так что мы вправе отметить столетний юбилей сходу двух наибольших прорывов в теоретической физике!

Воистину, всевышние милосердны к великим ученым.

Российский след

Эмми Нётер имела много почитателей и друзей в советском математическом сообществе. В 1923 году в Геттинген из Москвы приезжали блестящие юные топологи Павел Павел и Александров Урысон, через которых у Нётер установились связи с русскими сотрудниками. Зимний период 1928–29 годов она просматривала курс абстрактной алгебры в МГУ и руководила семинаром по алгебраической геометрии в Коммунистической академии.

В то время, когда Нётер изгнали из Геттингена, Александров пробовал добиться для нее кафедры алгебры в МГУ, но не приобрел помощи Народного комиссариата просвещения. Произойди в противном случае, она имела возможность бы создать в Москве школу алгебраистов мирового уровня. Но будущее имела возможность распорядиться и по-второму.

Ее младший брат Фриц, хороший математик-прикладник, уехал в СССР, где получил степень доктора наук Томского университета. В финише 1937 года его арестовали как германского шпиона и 10 сентября 1941 года расстреляли в Орле.

Но в каком-то смысле связи Эмми Нётер с Россией восходят к намного более ранним временам. В Брин-Мар ее пригласила декан матфакультета Анна Пелл Уилер (Anna Johnson Pell Wheeler), которая в собственный время получала образование Геттингене. Об данной даме стоит поведать подробней, причем основная фишка будет в финише.

Урожденная Анна Джонсон, дочь шведских эмигрантов, принадлежала к тому же поколению ученых, что и Эмми Нётер, и фактически была ее ровесницей. Она появилась в мае 1883 года в штате Айова. В 1899 году была принята в университет Южной Дакоты, где стала одной из лучших студенток.

Анна обучалась на превосходно по немецкому, французскому, латыни, химии, физике и математике, которая превратилась в ее основное увлечение. Девушкой заинтересовался доктор математических наук Александр Пелл (Alexander Pell), что предугадал в ней превосходные свойства к абстрактному мышлению и уговорил продолжить математическое образование. В 1903 году Анна перевелась в университет собственного родного штата Айова и через год защитила в том месте магистерскую диссертацию в области приложения теории групп к линейным дифференциальным уравнениям.

За эту работу она взяла стипендию в известном женском колледже Радклифф (Radcliffe College), и в 1905 году получила еще одну магистерскую степень. Уже тогда ее вычисляли одной из самые перспективных дам-математиков Америки. В 1906 году Анна победила конкурс на получение респектабельной стипендии имени Алисы Фримен Палмер, предназначенной для выпускниц американских колледжей, захотевших продолжить образование за границей. Эта разрешило совершить год в Геттингенском университете, где она обучалась у тех же самых звезд германской науки, что и (двумя годами ранее) Эмми Нётер. Ее главным наставником стал Гильберт, что тогда занимался интегральными уравнениями и заразил этим увлечением собственную американскую ученицу.

Потом она трудилась в данной области и в смежной сфере функционального анализа.

Александр Пелл всегда переписывался с Анной, и в финише финишей сделал ей предложение. Летом 1907 года он приехал в Геттинген, и они поженились. В том месте Пелл познакомился с университетскими светилами, в кругу которых вращалась его невеста. Жены возвратились в университет Южной Дакоты, где Анна начала читать направления дифференциальных теории и уравнений функций. Солидную часть 1908 года она опять провела в Геттингене, по окончании чего поступила в аспирантуру Университета Чикаго.

В 1910 году она стала доктором и в 1911 году приступила к преподаванию математики в одном из местных колледжей.

Анна Пелл Уилер (1883–1966) и Александр Пелл (1857–1921). Фото с сайтов flickr.com и ru.wikipedia.org

К этому времени Пелл также был в Чикаго, где получил кресло в Университете Армора (на данный момент — Технологический университет Иллинойса). В 1911 году по окончании перенесенного инсульта он прекратил преподавать и передал собственные лекции Анне. Она замещала мужа впредь до 1913 года, в то время, когда он формально вышел в отставку.

Однако, Пелл писал статьи и учавствовать в конференциях Американского математического общества (последний раз — в 1919 году), а на протяжении учебного года 1915–16 годов кроме того прочел семестровый курс в Северо-Западном университете.

В 1918 году Анну Пелл пригласили в Брин-Мар, где она стала доктором наук, а потом — и деканом математического отделения. К этому времени она прочно вошла в немногочисленную плеяду дам-математиков с интернациональной репутацией. Но Пелл до этого не дожил: он скончался 26 января 1921 года. В 1925 году Анна стала женой собственного сотрудника доктора наук-латиниста Артура Уилера, но в 1932 году снова овдовела.

В 1948 году она ушла на пенсию, но не прекратила смотреть за математической литературой и посещать семинары. Погибла она в марте 1966 года в возрасте 82 лет. Ее похоронили на баптистском кладбище рядом с могилой первого мужа.

Еще при жизни из собственных средств Анна создала стипендию имени Александра Пелла для математически одаренных студентов университета Южной Дакоты. Данный фонд существует и сейчас.

Но причем же тут Российская Федерация? Дело в том, что Пелл не всегда был Пеллом. Он появился в 1857 году в Москве, и кликали его тогда Сергеем Петровичем Дегаевым.

Он вошел в историю русского революционного подполья как провокатор и величайший предатель, сдавший охранке Веру Фигнер и других участников «Народной воли». Позднее, дабы избежать смерти от руки бывших товарищей, он помог им в убийстве собственного куратора — жандармского полковника Георгия Порфирьевича Судейкина (эта история детально обрисована в романе Юрия Давыдова «Глухая пора листопада»). Оставшиеся на свободе народовольцы разрешили Дегаеву уехать в Америку, где он и стал Пеллом.

В Штатах он по окончании многих злоключений взял математическое образование, закончил аспирантуру в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе и в финише финишей взял кафедру в Южной Дакоте. Так что демону истории для устройства Эмми Нётер в США было необходимо, дабы не добрый гений «Народной воли» превратился в почтенного американского доктора наук, что увидел и продвинул одаренную студентку из глубокой провинции. Вот как оно не редкость!