Три измерения (и больше): Почему значение d = 3 особенное

Т

Земля (орбита Земли) имеется мера всех орбит. Около нее обрисуем додекаэдр. Обрисованная около додекаэдра сфера имеется сфера Марса. Около сферы Марса обрисуем тетраэдр. Обрисованная около тетраэдра сфера имеется сфера Юпитера. Около сферы Юпитера обрисуем куб. Обрисованная около куба сфера имеется сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера имеется сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера имеется сфера Меркурия. Сейчас у нас имеется объяснение количеству планет.

Иоганн Кеплер

Почему значение d = 3 особенное

У нашего пространства три измерения. Существуют точки (ноль измерений), линии (одно измерение), плоскости (два измерения) и тела (три измерения). Но на этом нам нужно будет остановиться, не смотря на то, что с точки зрения математики мы можем представить себе пространство, в котором измерений больше. Что же в числе 3 для того чтобы особого? С классических времен геометры увидели интересные черты различных измерений. К примеру, в двух измерениях мы можем нарисовать верный многоугольник с любым числом равных сторон (равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и т. д.). Но в трех измерениях имеется лишь пять платоновских «верных тел», в которых равны все стороны и углы. В четырех измерениях таких объектов шесть, а в более высоких измерениях – всего по три.

Одно из следствий трехмерного мира пребывает в том, что такие силы, как тяготение и электричество, подчиняются закону обратных квадратов, т. е. сила либо заряд становятся в четыре раза не сильный, в случае, если расстояние возрастает вдвое. Майкл Фарадей в своих новаторских трудах по электричеству применял графический метод (по сути верный), чтобы выяснить это. Он представил «силовые линии», исходящие от каждого заряда либо массы, наряду с этим величина силы зависит от концентрации этих линий. На расстоянии r линии распространяются по площади, пропорциональной r2; на бо?льших расстояниях, так, воздействие силы ослабевает. Ее величина обратно пропорциональна r2. Однако площадь четырехмерной «сферы» будет изменяться пропорционально r3, и в случае, если удвоить r, то она станет не в четыре, а восьмикратно больше. Так, размышления Фарадея будут высказывать закон обратных кубов.

Почему значение d = 3 особенное

Как осознал Ньютон, траектории планет управляются равновесием между действием силы тяготения, которая тянет их вовнутрь, и центробежным эффектом их движения. Орбиты в Солнечной системе стабильны в том смысле, что маленькие трансформации скорости планеты изменяют ее орбиту весьма незначительно. Но эта стабильность исчезнет, в случае, если тяготение не будет опираться на закон обратных квадратов, а начнет следовать закону обратных кубов (либо закону с еще более круто наклоненным графиком зависимости). Тогда, в случае, если движущаяся по орбите планета хоть чуть-чуть замедлится, она не просто перейдет на чуть меньшую орбиту, а ее затянет прямо в Солнце, в силу того, что сила по закону обратных кубов резко возрастает по направлению к центру. Напротив, в случае, если идущая по орбите планета чуть-чуть ускорится, она быстро уйдет по спирали во внешнюю темноту.

Английский философ XVIII в. Уильям Пейли известен своим аргументом о том, что видимое строение нашей Вселенной подразумевает существование Творца точно так же, как часовой механизм подразумевает часовщика. В Кембридже Пейли взял достаточно хорошую подготовку в области математики, дабы оценить эту тайную линии закона обратных квадратов и включить ее в свою защиту аргумента о Творце всего сущего. Большая часть из его «доказательств творения» происходили из биологии и были опровергнуты кроме того теологами в постдарвиновскую эру. Впечатляющие адаптивные возможности глаз, конечностей и т. д. результат естественного отбора, симбиоза между средой и живыми организмами их обитания. Аргумент Пейли о том, что закон обратных квадратов особенно подтверждает высшую благодать, на данный момент думается одним из самых здравых: нет никаких следов естественного отбора в выборе любимого закона действия сил, и нет ничего, что могло влиять на Вселенную так, дабы его поменять. Пейли писал более чем за 100 лет перед тем, как стало ясно, что атомы складываются из положительно заряженного ядра и электронов, вращающихся около него; в противном случае он имел возможность укрепить свою позицию, увидев, что по подобным обстоятельствам атомы были бы неосуществимы во Вселенной, управляемой законом обратных кубов, в силу того, что в ней не было бы стабильных орбит у электронов.

 

Так, в случае, если количество пространственных измерений превышает три, появляется неприятность. Могли бы мы жить в мире, где их меньше чем три? Лучший аргумент тут – самый простой: во «Флатландии» (Двумерный мир из одноименного романа Эдвина Эбботта. – Прим. ред.) (либо, в действительности, на любой на данный момент поверхности) существуют принципиальные ограничения сложных структур. Нереально создать компьютерную сеть без перекрестных соединений, и точно так же ни у какого именно объекта не может быть сквозного канала (к примеру, представим себе пищеварительный тракт) без двух сторон. А в одномерном «Линейноземье» ограничения будут еще тверже.

Это лишь самые очевидные обстоятельства – а математики нашли и другие – того, по какой причине мы не должны удивляться, что живем в трехмерном пространстве.

Об авторе