Содержание
Сразу об имени
Правильная форма — Гиппас (греч. Ἵππασος, лат. Hippasus). «Гипос» — искажение, и под этим написанием его не найти ни в одном справочнике.
Что известно из источников
Очень мало, и это нужно сказать честно с самого начала.
- Гиппас был пифагорейцем, родом из Метапонта (по некоторым сообщениям — из Сибариса или Кротона), жил примерно в конце VI — первой половине V века до н. э.
- Диоген Лаэртский прямо сообщает, что Гиппас не оставил после себя никаких сочинений. Поэтому утверждение о «ряде трудов по математике и философии» неверно.
- Все сведения о нём идут от авторов, писавших через 500–800 лет: Ямвлих, Порфирий, Папп Александрийский, Прокл, Диоген Лаэртский.
- Античная традиция связывает с ним два достижения: открытие несоизмеримости и построение додекаэдра (вписанного в сферу). Аристотель упоминает Гиппаса как сторонника того, что первоначало — огонь, наряду с Гераклитом.
О том, что он переехал в Кротон в двадцать лет, преподавал младшим ученикам и умер в старости в окружении уважения, ни один источник не сообщает. Исходная статья сама признаёт: «подробности жизни остаются туманными из-за отсутствия исторических записей» — и тут же приводит подробности, которых нет в записях.
Открытие, которое действительно изменило математику
Пифагорейцы исходили из того, что любые две величины соизмеримы: для них найдётся общая мера, которая укладывается в каждую целое число раз. Отсюда и их главное положение: всё выразимо отношением целых чисел.
Обнаружилось, что это не так. Сторона квадрата и его диагональ несоизмеримы: их отношение — √2, и оно не равно никакой дроби.
Доказательство простое, и его стоит привести — оно считается одним из красивейших в математике:
Допустим, √2 = p/q, где дробь несократима. Тогда p² = 2q², значит, p² чётно, значит, и p чётно: p = 2k. Подставим: 4k² = 2q², то есть q² = 2k², откуда и q чётно. Но если p и q оба чётны, дробь сократима — противоречие с исходным условием. Следовательно, √2 нельзя представить дробью.
Это рассуждение в таком виде приводит Аристотель в «Первой аналитике» как образцовый пример доказательства от противного.
Есть и вторая версия открытия, которая для пифагорейцев правдоподобнее: несоизмеримость могла быть обнаружена на правильном пятиугольнике — отношение диагонали к стороне там равно φ, и пентаграмма была символом пифагорейского союза. То есть противоречие обнаружилось бы в их собственном опознавательном знаке.
Что было дальше — настоящая линия преемственности
Исходная статья пишет, что открытие «привело к разработке теории континуума и теории множеств». Это перескок через двадцать три столетия. Настоящая цепочка выглядит так:
- Несоизмеримость (V в. до н. э.) обессмысливает работу с отношениями через целые числа.
- Евдокс Книдский (IV в. до н. э.) создаёт общую теорию отношений, применимую и к несоизмеримым величинам. Она изложена в книге V «Начал» Евклида и, по существу, предвосхищает современное определение действительного числа.
- Греческая математика после этого уходит от арифметики к геометрии: величины складывают и сравнивают как отрезки и площади, а не как числа. Это объясняет геометрический вид всей античной математики.
- XIX век: Дедекинд (сечения, 1872) и Кантор (фундаментальные последовательности) дают строгое построение действительных чисел — закрывая задачу, поставленную пифагорейцами. Теория множеств Кантора появляется тогда же, но она выросла из других задач, а не непосредственно из несоизмеримости.
Легенда о гибели
Существует предание, что Гиппаса утопили в море — то ли сами пифагорейцы за разглашение открытия, то ли это было наказание богов. Его передают Ямвлих и Прокл, то есть авторы поздние.
Исходная статья справедливо говорит, что историческими свидетельствами это не подтверждается, и здесь она права. Добавим, что даже в поздних источниках версии расходятся: по одной — Гиппас был изгнан из союза, по другой — погиб при корабельной аварии, и только по третьей — был утоплен собратьями. А часть сообщений связывает его изгнание вовсе не с несоизмеримостью, а с разглашением способа построения додекаэдра или с политическим расколом в союзе: Гиппаса называют одним из лидеров «математиков», отделившихся от «акусматиков».
Последняя версия наиболее правдоподобна: раскол внутри союза — документированное событие, а казнь за математическое открытие — сюжет, слишком хорошо устроенный, чтобы быть правдой.
