Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике

Некоторые фигуры имеют особые свойства, которые не повторяются в других. К таким особенностям относится теорема о сумме острых углов прямоугольного треугольника, и как следствие несколько свойств, касательно градусной меры и длины катета по отношению к гипотенузе. Использование такого утверждения на практике упрощает поиск решения для разных заданий.

Теорема и доказательство

Фигура, в которой один из углов равен 90⁰, имеет название прямоугольного треугольника. Напротив этого него всего находится гипотенуза. Стороны, которые размещены вокруг 90⁰, являются катетами. Углы вокруг гипотенузы всегда будут острыми, и это аксиома, которая не требует доказательства.
Потому сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90⁰. Это утверждение является следствием теоремы о сумме углов любой треугольной фигуры.
Чтобы доказать чему равна сумма прямоугольного треугольника, стоит рассмотреть фигуру, где <С =90⁰, соответственно <А +<В =90⁰.
Согласно утверждению о сумме всех углов фигуры <А +<В + <С= 180⁰.
Если <С – прямой, то на два отставные приходится тоже 90^0. Таким образом, теорема доказана.

Доказательство теоремы об острых углах в прямоугольном треугольнике

Свойство фигуры

Из теоремы, где сумма прямоугольного треугольника равна 90⁰, следуют некоторые свойства. Итак, если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45⁰, то фигура равнобедренная. Чтобы доказать, стоит припустить верность этого свойства. Далее согласно теореме

• <С - <А =<В;
• <С - 400 = 450.

А если в фигуре один из углов имеет значение 45⁰, то треугольник равнобедренный. Учитывая свойство, что сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам, следует, что 90⁰-45⁰=45⁰.
А это означает, что в фигуре <А=<B= 45⁰, соответственно катеты будут равными и весь треугольник – равнобедренным.
Сторона прямоугольника, которая лежит напротив 30⁰, будет равна половине гипотенузы. Это утверждение в обратном направлении – если катет вдвое раз меньше от стороны, что находится напротив 90⁰, то он размещен напротив 30⁰.
Чтобы доказать верность этого свойства, пусть один из углов будет 30⁰,<С=90⁰, а третий – будет 90⁰-30⁰=60⁰. Если дорисовать треугольник в зеркальном отображении, то в результате получится равносторонний треугольник. Все углы в нем будут по 60⁰. Перпендикуляр одновременно будет и медианой, которая делит сторону на пополам. Таким образом, катет, что размещен напротив 30⁰,будет равным половине гипотенузы.

Пример заданий

В треугольнике, где <С=90⁰, <А=46⁰,найти <В. Решение простое, с учетом утверждения, получается, что <В=90⁰ – <А=46⁰.
Пример второй задачи. Фигура, где <С=90⁰, а острый угол втрое меньше другого, то есть <1=3*<2. Найти градусное значение <1, <2.
Естественно <1, <2 будут меньшими за 90⁰, следовательно, один будет большим за другого. Существует два варианта их значений:

• <1 будет меньшим в три раза за 900. Тогда <1=900/3=300, и второй <2=900-300=600.
• <1 будет втрое раз меньшим за <2. Пусть <1=х, то <2=3х. Затем 3х+х=900, х=900/4=22,50 <2=22,50*3=67,50.

Итак, задание имеет 2 решения – 30⁰,60⁰ и 22,5⁰, 67,5⁰.
Еще один пример задания. Фигура, где <С=90⁰, а катет 8 см., <1=45⁰. Найти длину второй стороны, прилежащей в <C.
Если <1=45⁰, то <2=45⁰. А это означает, что фигура является равнобедренной, то есть 2 катета будут иметь одинаковую длину в 8 см.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 900, следовательно, если один из них будет 450, то фигура равнобедренная. Также утверждение, где катет лежит напротив 300, то он в 2 раза меньший от гипотенузы будет превосходить из этой теоремы.