Некоторые фигуры имеют особые свойства, которые не повторяются в других. К таким особенностям относится теорема о сумме острых углов прямоугольного треугольника, и как следствие несколько свойств, касательно градусной меры и длины катета по отношению к гипотенузе. Использование такого утверждения на практике упрощает поиск решения для разных заданий.
Теорема и доказательство
Фигура, в которой один из углов равен 900, имеет название прямоугольного треугольника. Напротив этого него всего находится гипотенуза. Стороны, которые размещены вокруг 900, являются катетами. Углы вокруг гипотенузы всегда будут острыми, и это аксиома, которая не требует доказательства.
Доказательство теоремы об острых углах в прямоугольном треугольнике
Потому сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 900. Это утверждение является следствием теоремы о сумме углов любой треугольной фигуры.
Чтобы доказать чему равна сумма прямоугольного треугольника, стоит рассмотреть фигуру, где <С =900, соответственно <А +<В =900.
Согласно утверждению о сумме всех углов фигуры <А +<В + <С= 1800.
Если <С – прямой, то на два отставные приходится тоже 900. Таким образом, теорема доказана.
Свойство фигуры
Из теоремы, где сумма прямоугольного треугольника равна 900, следуют некоторые свойства. Итак, если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 450, то фигура равнобедренная. Чтобы доказать, стоит припустить верность этого свойства. Далее согласно теореме
• <С - <А =<В; • <С - 400 = 450.
А если в фигуре один из углов имеет значение 450, то треугольник равнобедренный. Учитывая свойство, что сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам, следует, что 900-450=450.
А это означает, что в фигуре <А=<B= 450, соответственно катеты будут равными и весь треугольник – равнобедренным.
Сторона прямоугольника, которая лежит напротив 300, будет равна половине гипотенузы. Это утверждение в обратном направлении – если катет вдвое раз меньше от стороны, что находится напротив 900, то он размещен напротив 300.
Чтобы доказать верность этого свойства, пусть один из углов будет 300,<С=900, а третий – будет 900-300=600. Если дорисовать треугольник в зеркальном отображении, то в результате получится равносторонний треугольник. Все углы в нем будут по 600. Перпендикуляр одновременно будет и медианой, которая делит сторону на пополам. Таким образом, катет, что размещен напротив 300,будет равным половине гипотенузы.
Пример заданий
В треугольнике, где <С=900, <А=460,найти <В. Решение простое, с учетом утверждения, получается, что <В=900 – <А=460.
Пример второй задачи. Фигура, где <С=900, а острый угол втрое меньше другого, то есть <1=3*<2. Найти градусное значение <1, <2.
Естественно <1, <2 будут меньшими за 900, следовательно, один будет большим за другого. Существует два варианта их значений:
• <1 будет меньшим в три раза за 900. Тогда <1=900/3=300, и второй <2=900-300=600. • <1 будет втрое раз меньшим за <2. Пусть <1=х, то <2=3х. Затем 3х+х=900, х=900/4=22,50 <2=22,50*3=67,50.
Итак, задание имеет 2 решения – 300,600 и 22,50, 67,50.
Еще один пример задания. Фигура, где <С=900, а катет 8 см., <1=450. Найти длину второй стороны, прилежащей в <C.
Если <1=450, то <2=450. А это означает, что фигура является равнобедренной, то есть 2 катета будут иметь одинаковую длину в 8 см.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 900, следовательно, если один из них будет 450, то фигура равнобедренная. Также утверждение, где катет лежит напротив 300, то он в 2 раза меньший от гипотенузы будет превосходить из этой теоремы.
Мне понравилось, что статья ясно объясняет отношения углов в данной фигуре.
Как читатель блога по математике, я бы хотел прочитать о следующих темах:
1. Геометрические фигуры и у