Что такое Пентамино

Пентамино — это фигура, составленная из пяти одинаковых квадратиков, соединенных сторонами. Существу­ет 12 возможных форм пентамино, если не считать зеркаль­но симметричные фигуры различными. Иногда их обозначают похожими буквами латинского алфавита. Кроме того, 12 —число шаров, которые могут одновременно касаться друг дру­га в трехмерном пространстве.

Полимино
В более общем смысле полимино — это фигура, составленная из η одинаковых квадратов. Все вместе эти фигуры называются полимино. Существует, к примеру, 35 гексамино (п = 6 ) и 108 гептамино (п = 7 ) .

Общую концепцию таких фигур, как и название, приду­мал Соломон Голомб в 1 9 5 3 г.; их популярности очень способ­ ствовали публикации Мартина Гарднера в Scientific American. Название образовано инверсно от слова «домино», костяшки которого состоят из двух соединенных квадратов; если исхи­ триться, то слог «до-» в названии игры можно интерпретировать как латинское di или греческое do, означающее «два». (На самом деле слово «домино» происходит от латинского dominus, «господин».)
Вообще, предшественников полимино в литературе хватает. Известный английский составитель головоломок Генри Дьюдени включил одну из головоломок с пентамино в свои «Кентерберийские головоломки» 1907 г. С 1937 по 1957 г. журнал Fairy Chess Review печатал много задач на складывание фигур из пен­тамино и гексамино, называя их «задачами на разрезание».

Головоломки с полимино

На полимино в целом и пентамино в частности основано гро­мадное количество весьма занимательных игр и головоло­мок. К примеру, из них можно собирать различные интерес­ные фигуры.

Площадь всех двенадцати пентамино в сумме составля­ет 60 единиц (если считать, что каждый квадрат, из которых составлены детали-пентамино, имеет площадь 1 ) . Любой спо­соб записать 60 как произведение двух натуральных чисел определяет прямоугольник, и задача составления такого пря­моугольника из деталей-пентамино представляет собой увлека­тельную и непростую головоломку. Детали при необходимости можно переворачивать, получая, таким образом, зеркальные фигуры. Оказывается, таким способом можно сложить прямо­ угольники 6 χ 10 , 5 χ 12 , 4 χ 15 и 3 χ 20 . Несложно убедиться, что прямоугольники 2 χ 30 и 1 χ 60 сложить невозможно.
Число различных способов сложить эти прямоугольники (поворот и отражение всего прямоугольника целиком не счи­таются как отдельные варианты, а вот поворот и отражение меньших прямоугольников, когда все остальное остается на месте, разрешается) известно:
6 χ 10 — 2339 способов;
5 x 12 — 1010 способов;
4 χ 15 — 368 способов;
3 χ 20 — 2 способа.
Еще одна типичная головоломка начинается с уравнения 8 x 8 – 2 x 2 = 60 и ставит вопрос: можно ли сложить из две­надцати пентамино квадрат 8 χ 8 с центральным отверстием 2 x 2 . Ответ: да, можно.

Симпатичный способ сложить все гексамино вместе дает параллелограмм :

Число полимино
Математики и компьютерщики рассчитали, сколько существу­ет n-мино для многих n. Если не считать повороты и отражения отдельными фигурами, то общее число их таково:

Контактное число для шаров
Контактное число для кругов — наибольшее количество кру­гов, которые могут одновременно касаться данного, если все они одинакового размера — шесть. Существу­ет также контактное число для шаров — наибольшее число шаров, которые могут касаться данного, если все они одинако­вого размера. Это число равно 1 2 . Показать, что 1 2 шаров могут одновременно касаться дан­ного, довольно просто. Более того, можно сделать это таким образом, чтобы точки касания образовали 1 2 вершин правиль­ного икосаэдра . Между этими точками достаточ­но места, чтобы поставить на каждое шар, и эти шары не будут касаться друг друга.

На плоскости шесть кругов, одновременно касающиеся цен­трального, не оставляют свободного места, и вся конструкция получается жесткой. Но в трех измерениях свободного места оста­ется немало, и шары можно двигать. Долгое время было неизвест­но, не хватит ли этого свободного места для тринадцатого шара, если остальные двенадцать сдвинуть правильным образом. Два знаменитых математика — Ньютон и Дэвид Грегори — вели долгий спор по этому поводу. Ньютон утверждал, что пра­вильное число 1 2 , тогда как Грегори был убежден, что оно должно быть 13 . В XIX в. предпринимались попытки доказать правоту Ньютона, но в них обнаруживались логические пробелы. Полное доказательство того, что контактное число для шаров главно 12 , было впервые опубликовано в 1953 г. Четыре измерения или больше Аналогичная ситуация возникает и в четырехмерном про­странстве, где относительно несложно найти вариант одно­ временного касания 2 4 четырехмерных шаров, но остается достаточно места, чтобы туда, возможно, влез 25-й шар. В этом вопросе разобрался Олег Мусин в 2003 г.; ответ, как и ожида­лось, составляет 24.
В большинстве других размерностей математики знают, что некоторое конкретное количество шаров может коснуть­ся центрального шара, и они могут найти такое расположе­ние шаров, при котором все получится; можно также сказать наверняка, что некоторое (как правило, значительно боль­шее) число касаний невозможно, по различным косвенным признакам и причинам. Эти числа называются нижней и верх­ней границами контактного числа. Само число может лежать где-то между ними или равняться одной из границ.
В двух случаях при размерностях больше 4 известные ниж­няя и верхняя границы совпадают, так что их общая величина и есть контактное число. Замечательно, что эти размерности 8 и 24 , для которых контактные числа составляют 240 и 196650 соответственно. В этих размерностях существует две высоко­симметричные решетки — аналоги решеток из квадратов или, в более общем случае, из параллелограммов. Эти особые решет­ки известны как Е₈ (или решетка Госсета) и решетка Лича, и шары можно разместить в подходящих для этого узловых точ­ках. По едва ли не чудесному совпадению доказуемая верхняя граница контактного числа в этих измерениях совпадает с ниж­ней границей, полученной при помощи этих особых решеток. Текущее состояние проблемы отражено в таблице, где полу­жирным выделены те размерности, для которых известен точ­ный ответ: