Высшая математика в природе

Международная группа ученых доказала что появление узоров на коже ящериц подчиняется действию двух математических моделей

— уравнению Тьюринга и автомату фон Неймана. Лауреат премии Филдса, руководитель лаборатории им. Чебышёва СПбГУ Станислав Смирнов помог коллегам-биологам из университета Женевы найти связь между системами, разработанными великими математиками.

Молодые особи юго-западных европейских ящериц имеют окраску трех цветов в форме колец, причем эти кольца расположены поперек чешуек. Как и у большинства пресмыкающихся цвет не имеет отношения к структуре чешуи. Но когда ящерица взрослеет, чешуйки целиком окрашиваются в один из двух цветов — зеленый или черный — и образуют извилистый узор, похожий на лабиринт. При этом чешуйки периодически меняют свой цвет.

Наблюдая за взрослыми ящерицами, несколько лет назад руководитель лаборатории искусственной и живой эволюции университета Женевы, профессор Мишель Милинкович заметил, что поведение кожи пресмыкающихся похоже на эволюцию клеточного автомата. Клеточный автомат — вычислительная система, предложенная одним из отцов современных компьютеров, великим математиком Джоном фон Нейманом. Система состоит из набора правил, по которым клетки перекрашиваются в зависимости от цвета соседей. При этом даже простые правила могут привести к очень сложному поведению, упорядоченному или хаотическому. Примером служит «игра в жизнь» на клетчатой бумаге, часто упоминающаяся в популярной литературе, например в книгах Мартина Гарднера.

Мишель Милинкович и его коллеги в течение четырех лет наблюдали за ящерицами, окрас которых меняется с возрастом. Выяснилось, что кожа ящериц действительно похожа на клеточный автомат — клетки перекрашиваются в зависимости от того, сколько у них соседей того или другого цвета. Результат исследования опубликован в журнале Nature, в статье A Living Mesoscopic Cellular Automaton Made of Skin Scales.

Однако самая распространенная причина появления узоров на коже животных не имеет отношения к клеточным автоматам. Она была предложена знаменитым великим математиком Аланом Тьюрингом в одной из его последних статей. Это взаимодействие пигментов, описываемое уравнениями реакции-диффузии.

Если пигмент просто диффузирует, то, например, черное пятно расплывается, и вся кожа становится серой. Но если между разными диффузирующими пигментами есть нетривиальные реакции, то поведение решений становится сложнее. Тьюринг заметил, что при очень простых коэффициентах решения могут вести себя по‑разному — появляются или пятна, или полосы, или спирали. Иногда узоры движутся или пульсируют. Осмысление гипотез Тьюринга заняло полвека, и сейчас стало очевидным, что раскраска многих животных идет именно от его уравнений. Показательным примером может служить обитающая в тропических морях рыба-зебра, сложные узоры которой следуют из достаточно простых уравнений.

Вопрос, с которым к Станиславу Смирнову обратился Мишель Милинкович, звучал так: Как можно из уравнения типа реакции-диффузии вывести клеточный автомат? Вместе ученые предположили, что изменение толщины кожи между чешуйками ящериц должно уменьшать в этих местах коэффициенты диффузии в уравнении Тьюринга.

«Мне удалось не только подтвердить наше общее предположение, — рассказал Станислав Смирнов, — но и показать, как в этом случае уравнения Тьюринга сводятся к дискретной форме на решетке чешуек (где считается, что каждая чешуйка окрашена в один цвет), а потом — к клеточному автомату. Поскольку вместо целой области точек все сводится к изучению цветов нескольких тысяч чешуек, задача сильно упрощается. В свою очередь эту новую модель удалось связать с клеточным автоматом».

Математическое доказательство этого нового наблюдения получено во многом благодаря исследованиям в области химии и биологии. Интересно, что уравнения Тьюринга были связаны с клеточными автоматами фон Неймана, и эта связь проявляется в природе в результате эволюции Дарвина.

При этом механизм появления узоров, описанный учеными в Женеве и в Санкт-Петербурге, сильно отличается от тех, которые прежде рассматривались их коллегами. По мнению Станислава Смирнова, результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть развиты и применены в различных областях науки, в том числе в биологии и физике при изучении спонтанно образующихся узоров.