Мы живем в многомерном мире. “В мире науки” №4 2017

Наш мир вовсе не трехмерен, нам только так кажется. Именно этот
факт подтверждают фундаментальные исследования Александра
Александровича Гайфуллина, члена-корреспондента
Российской академии наук, профессора мехмата МГУ, ведущего
научного сотрудника Математического института им. В.А. Стеклова
РАН. За серию работ, связанных со сложными математическими
построениями, он получил президентскую премию для молодых ученых.

— Александр, сложно даже обращаться к вам по
имени-отчеству, настолько вы молоды. И в то же время — профессор,
член-корреспондент… Наверное, вы самый юный член академии
наук?

— Насколько я знаю, нет. но один из самых молодых. Доктором наук
я стал в 26, а в академию меня избрали в 32— на последних,
осенних выборах. Надо сказать, математика — вообще наука молодых.

— Потому что мозг так устроен: чем моложе, тем лучше
функционирует?

— Возможно. Хотя известны случаи, когда люди и в зрелом возрасте
получали очень хорошие результаты. Но вообще в математике много
примеров, когда самыми сильными становятся первые работы. В
других науках— скажем, в химии, в физике, особенно в
экспериментальной, крайне важно время, когда человеку нужно
наработать какие- то навыки, научиться методам работы.

Эксперименты часто занимают длительное время, поэтому, как
правило, в таких областях люди получают серьезные результаты
позже.

— Вы стали лауреатом премии президента для молодых
ученых. За какие исследования?

— Я занимаюсь этой тематикой уже пять лет. Речь идет о цикле
работ по так называемым изгибаемым многогранникам. Это очень
интересный геометрический объект. Знаете, как дети клеят
многогранники из картона? Они чертят грани, вырезают развертку, а
потом начинают складывать и склеивать. Так можно сделать, скажем,
куб. А дальше возникает вопрос: вот мы замкнутый многогранник
склеили, но будет ли это жесткая конструкция или она может
каким-то образом деформироваться с изменением углов между
гранями? Это и называется изгибанием.

Чтобы лучше себе это представить, можно, как говорят математики,
спуститься на размерность вниз и вместо многогранников в
трехмерном пространстве посмотреть на многоугольники на
плоскости. Если мы возьмем треугольник и сделаем у него жесткие
стороны и шарниры в вершинах, он все равно останется жесткой
фигурой и мы никак не сможем его деформировать. А если возьмем
четырехугольник, пятиугольник или многоугольник с большим числом
сторон, то у него всегда будут присутствовать нетривиальные
деформации. Например, квадрат можно превратить в ромб и т.д.
Однако если вернуться к многогранникам, там ситуация другая.
Среди них изгибаемых очень мало, и их трудно строить.

Первый пример изгибаемого многогранника был построен только в
1977 г.

Его автор— американский математик Роберт Коннелли. До этого
предполагали, что таких многогранников вообще не может быть.

Дело в том, что еще в 1813 г. знаменитый французский математик
Огюстен Луи Коши (это была одна из первых его математических
работ) доказал, что если многогранник выпуклый, то у него никогда
не будет изгибания.

А если он не выпуклый? Как выяснилось спустя полтора века,
изгибание возможно. Более того, когда такие изгибаемые
многогранники начали строить, оказалось, что они обладают
массой удивительных свойств.

— Каких же?

— Сначала их обнаружили экспериментально. Скажем, такая
удивительная вещь: многогранник изгибается, деформируется, а
объем у него остается постоянным. Сначала были мысли, что,
возможно, это совпадение. Стали смотреть другие примеры— а там
тоже объем постоянный. И появилась гипотеза, что объем любого
изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Ее
назвали очень красиво — гипотезой о кузнечных мехах. Кузнечные
мехи — это приспособление, которое нагнетает воздух в кузнице.
Возник вопрос: можно ли сделать подобного рода приспособление,
нагнетающее воздух, из изгибаемого многогранника? Это было бы
возможно, только если бы нашелся многогранник, который изменяет
свой объем. Гипотеза о кузнечных мехах долго оставалась
открытой, и доказал ее в 90-х гг. прошлого века российский
математик И.Х. Сабитов.

Моя работа заключалась в построении теории многомерных изгибаемых
многогранников. Мы живем в нашем обычном трехмерном пространстве,
но на самом деле математики изучают и многомерные пространства, и
это очень важно не только для математики, но и для различных
ее приложений — физики, механики, астрофизики и других областей.

— Что показали ваши исследования?

— Мы посмотрели многоугольники на плоскости. потом в трехмерном
пространстве, и тут возник очередной вопрос: а если мы будем
изучать аналогичные объекты, те же изгибаемые многогранники, в
многомерных пространствах произвольной размерности? И оказалось,
что здесь нам почти ничего не известно. На рубеже XX-XXI вв. были
построены отдельные примеры четырехмерных изгибаемых
многогранников, но дальше пойти не удавалось. В больших
размерностях вообще не было ни одного примера.

Мне удалось, во-первых, построить примеры изгибаемых
многогранников в пространствах всех размерностей. Во-вторых, был
вопрос, связанный с гипотезой о кузнечных мехах и теоремой И.Х.
Сабитова, что объем изгибаемого многогранника всегда постоянен.
Были все основания предполагать, что, может быть, то же самое
верно и в «старших» размерностях.

Доказательство, которое он дал, очень хорошо работало в
трехмерной ситуации, но совершенно не действовало в многомерной.
Мне удалось придумать абсолютно новый подход, который позволил
доказать гипотезу о кузнечных мехах, то есть утверждение о
постоянстве объема в процессе изгибания многогранников для
многогранников произвольной размерности.

Наше пространство, как говорят математики, нулевой кривизны. А
бывают пространства искривленные. Легче всего себе представлять
положительно искривленные пространства. Простейший пример —
поверхность сферы, например поверхность Земли, на которой мы
живем. То есть наша земная геометрия не евклидова, не плоская, а
сферическая.

А бывает еще пространство отрицательной кривизны — это плоскость
Лобачевского и вся его знаменитая геометрия, которая возникла в
XIX в. Это двумерные пространства, но при этом точно так же есть
пространства положительной и отрицательной кривизны всех
размерностей. И в них тоже можно изучать изгибаемые
многогранники.

И оказалось, что там ситуация очень любопытная. Если кривизна
положительная, то гипотеза кузнечных мехов неверна. Есть примеры
изгибаемых многогранников, которые изменяют объем в процессе
изгибания. В нашей обычной размерности такой пример был построен
В. А. Александровым, ведущим научным сотрудником Института
математики им. С.Л. Соболева СО РАН, а во всех больших
размерностях— это мои результаты.

А самое любопытное вот что. Если мы находимся в пространстве
отрицательной кривизны, оказывается, что если размерность
нечетная — 3. 5, 7 и т.д., то гипотеза о кузнечных мехах верна и
объем постоянный.

— А если размерность четная, то неверна и объем
меняется?

— Нет, если четная, то никто не знает. Это вопрос, оставшийся на
сегодня открытым…

— Вы говорите, что работы в этом направлении были начаты
в 70-е гг. прошлого века. Значит, здесь уже могли быть поставлены
и решены какие-то прикладные задачи?

— Да, началось все с изучения изгибаемых многогранников, но эта
наука развивалась в разных направлениях. Вообще, это часть науки
о шарнирных механизмах, у которой много приложений, возникающих в
очень многих инженерных конструкциях. Или, скажем, есть такая
замечательная конструкция— плоскость, разбитая на множество
параллелограммов, которые могут очень компактно складываться в
один. Она известна с древних времен из японского оригами, а
сейчас называется миура-ори в честь японского астрофизика Коре
Миуры, который предложил использовать такую конструкцию для
складывания солнечных батарей.

— Безусловно, такие конструкции можно создавать и для
построения временного жилья, передвижных госпиталей и научных
лабораторий — например на Севере, для освоения новых
земель.

— Фантазировать можно сколько угодно, но в области применения я
не специалист. Однако мне хочется сказать, что кроме таких
«наивных» вариантов, как использование на практике тех или иных
изгибаемых поверхностей, не менее важны возможности более
глубоких и неочевидных применений не самих изгибаемых
многогранников, а математических методов, возникших при их
исследовании. Вообще часто бывает, что математические результаты
используются каким-то способом, изначально неожиданным. История
показывает, что часто ожидают применения в одном месте, а
возникает оно совершенно в другом.

Возвращаясь к изгибаемым многогранникам, хотелось бы отметить их
связь с часто встречающимися на практике задачами такого типа.
Имеется набор точек в пространстве, и расстояния между одними
парами этих точек мы знаем (например, сумели измерить), а между
другими — нет. Можно ли узнать все недостающие расстояния,
рассчитать их?

Эта задача сводится к изучению определенного вида систем
алгебраических уравнений, и такого же рода системы уравнений
возникают в задачах об изгибаемых многогранниках. Поэтому здесь,
несомненно, могут быть полезны методы, развитые в теории
изгибаемых многогранников.

— И здесь области применения безграничные — от земных
задач до дальнего космоса.

— Именно так.

— Каким образом все это строится? С помощью компьютерных
программ?

— Как ни странно, нет. Компьютерная модель создается, как
правило, уже впоследствии. Чертить это на бумаге тоже
проблематично — там же все плоское. А клеить такие сложные фигуры
из картона я, признаться, не очень умею.

— Неужели вы строите все это в голове?

— Ив голове тоже. Но на самом деле эта задача довольно быстро
переходит из геометрической (хотя геометрическая интуиция здесь
очень важна) в алгебраическую.

— Некое математическое описание в виде формул?

— Да. Потом, когда есть формулы, их можно загрузить в компьютер и
получить объект.

— Картинка в компьютере и то, что до этого было в голове,
совпадают?

— Не всегда.

— Вы будете продолжать работать над этой темой? Чего
хотите достичь в этом направлении?

— Для меня эта область не совсем родная. Изначально я
специализировался в другой области математики — алгебраической
топологии. Топология — это наука об описании геометрического
объекта сточки зрения свойств, которые не меняются при его
деформациях. А алгебраическая топология стремится дать такое
описание в алгебраических терминах. то есть, например,
сопоставить каждой поверхности некоторый алгебраический объект и
показать, что этот объект различен, скажем, для сферы и для
поверхности бублика, и таким образом показать, что они не могут
быть превращены одна в другую при помощи непрерывной деформации.
Эта наука начала формироваться еще в конце XIX в., но с тех пор
существенно развилась и усложнилась.

— Почему же вы стали заниматься этими
многогранниками?

— Моим научным руководителем в университете был
член-корреспондент РАН В.М. Бухштабер, и моей темой была как раз
алгебраическая топология. А еще когда я учился на первом курсе,
мне очень повезло, что семинарские занятия по математическому
анализу в нашей группе вел профессор мехмата И.Х. Сабитов, о
котором я уже говорил. Так что об изгибаемых многогранниках и его
результатах в этой области я узнал уже тогда. И вот уже в 2011
г., когда я только что защитил докторскую диссертацию, Иджад
Хакович мне сказал, что советует заняться этой задачей, потому
что ему кажется, что там возможно применить мои топологические
знания.

— И он оказался прав?

— Абсолютно. Так что часть задачи решена, остальное, надеюсь,
впереди.

Виктор Матвеевич Бухштабер. член- корреспондент
РАН, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова. главный научный сотрудник
Математического института им. В.А. Стеклова:

— Я считаю, что с точки зрения вклада в фундаментальную науку
результаты этой работы совершенно выдающиеся. Они уже оказали
влияние на развитие математики и еще окажут. Мы можем перечислить
крупных математиков, которые пытались решить эти проблемы в
течение многих лет, но всякий раз попадали в тупик. Александр,
конечно, опирался на результаты предшественников, но он нашел
новые методы, которые позволили прорваться сначала в
четырехмерный мир, а потом и в мир большего количества
размерностей.

Дело в том, что проблема изгибаемых многогранников, как ее
ставили классики, базировалась на нашем трехмерном мире, на
повседневном опыте. Но если мы возьмем фундаментальную работу
Анри Пуанкаре, основателя нашей науки — топологии, то он начинает
с того, что классическая механика имеет дело с трехмерным миром.
Однако если вы хотите описать динамику объекта и свойства системы
в целом, то здесь нельзя обойтись без многомерных пространств,
где участвуют не только координаты, но и скорость, и ускорение,
ит.д. То есть от трехмерного пространства надо переходить к
многомерному. Понимание этого факта послужило стимулом для
создания и развития топологии.

Фундаментальный вклад Александра в том. что он сначала перенес
классические задачи, связанные с трехмерным миром, в
четырехмерный мир, а потом развил методы, применимые и для более
высоких размерностей. До него многомерные аналоги классических
задач об изгибаемых многогранниках казались недоступными. Вот
почему в формулировке премии президента написано «за решение
фундаментальных задач»: Александр разработал новые методы,
которые позволили решить многомерные аналоги классических задач.

На первый взгляд кажется, что все это — игра нашего воображения.
На самом деле мы с вами живем не в трехмерном мире, а в
многомерном. Трехмерный мир — это очень просто и очевидно.

Вот, например, известно, что сейчас вы находитесь в
Математическом институте в такой-то аудитории. Найти вас — это
трехмерная задача.

Но если я хочу за вами следить, мне нужна информация о вашей
динамике, понимание, в какой точке пространства вы будете через
какое-то время. Это уже четырехмерная задача.

Фазовое пространство — это понятие, на котором базируются
фундаментальные результаты всей современной математики. Мы с вами
живем в многомерном мире, где наши координаты — не только данные
о местоположении, но и многие другие сведения о нашем состоянии.

Сейчас здесь возникли абсолютно уникальные возможности благодаря
современной вычислительной технике и новым средствам связи. Та же
система навигации использует многомерные пространства. Я уже
много лет занимаюсь не только топологией, но и ее приложениями к
задачам физики ихимии и каждый раз чувствую то преимущество,
которое дает мне топология. По сравнению с человеком, который
считает, что живет в трехмерном мире, у меня значительно более
богатый инструментарий.

Саша— мой ученик, а бывших учеников не бывает. Я горжусь
достигнутыми им результатами, поскольку это настоящий прорыв в
науке. Хорошо, когда получен результат, которым можно
воспользоваться немедленно. В то же время фундаментальные
результаты имеют особую ценность. Оказывается, в нашем мире все
совсем не так. как кажется на первый взгляд. Во-первых, он
реально многомерен, а во-вторых, в этом многомерном мире, когда
вы работаете с определенными объектами, необходимо знать запреты,
которые накладывает этот мир. И тот человек, который эти запреты
открыл, входит в историю математики, потому что дал всему
человечеству новое понимание условий существования в этом
мире. И в-третьих, зная эти запреты, мы можем поставить
замечательную задачу— построить нечто самое хорошее, чтобы
использовать это для блага человечества. Не сомневаюсь, что таких
построений и приобретений будет еще очень много. ■

Академик Валерий Козлов: «За чудесами — в
Математический институт»

Валерий Васильевич Козлов, исполняющий обязанности президента
РАН, академик, директор Математического института им. В.А.
Стеклова (2004-2016).

— Хочу сказать несколько слов о молодых людях, работающих в нашем
институте. Мы всегда стремились привлекать на работу самых
способных, самых талантливых. Наш институт небольшой, чуть более
ста научных сотрудников. И поэтому появление каждого нового
человека для нас событие. Таким событием было и появление Саши
Гайфуллина, который теперь уже член-корреспондент РАН, профессор.

Хорошо помню, как мы его принимали на работу. Не скрою, это была
моя идея. Он тогда работал в Московском университете, на моем
родном механико-математическом факультете, на одной из трех
геометрических кафедр. У нас в институте вообще много выпускников
мехмата МГУ. Зная, что на нашем математическом небосклоне
появился молодой способный парень, я, посоветовавшись с
коллегами, решил его во что бы то ни стало забрать к нам.

— Насколько я знаю, А.А. Гайфуллин продолжает преподавать
в МГУ.

— Да, но теперь на условиях совместительства.

— И ведь он не единственный ваш лауреат президентской
премии.

— Да, он третий. Первым был А.Г. Кузнецов— наш замечательный
алгебраист, тоже избранный членом-кор- респондентом академии наук
за свои выдающиеся достижения в области алгебры и алгебраической
геометрии. А еще этой награды удостоен Н.Н. Андреев — талантливый

популяризатор математики, заведующий лабораторией популяризации и
пропаганды математики.

— Но вернемся к А.А. Гайфуллину.

— Он действительно отличный геометр. Характерная особенность его
научной работы— он стремится все сделать до конца, изящно и
красиво. Я вспоминаю в связи с этим слова великого немецкого
математика Гаусса: «Если что-то недоделано, это значит — ничего
не сделано». Так вот, Саша все доводит до конца. Взять хотя бы
его блестящий цикл работ по гипотезе кузнечных мехов, состоящей в
том, что объемы изгибаемых многогранников, как правило, не
меняются (во всяком случае, если речь идет о привычном нам
евклидовом пространстве). Он рассмотрел многомерный случай и
случай пространства положительной и отрицательной кривизны. Вывел
особенности этой

задачи, связанной со знаком кривизны, что тоже очень важно. Довел
дело до логического конца. И это самое ценное.

Эта гипотеза и вся тематика тесно связана в том числе с
механико-математическим факультетом. Как известно, в трехмерном
случае эту гипотезу доказал выдающийся геометр И.Х. Сабитов. Я
был еще студентом, когда он вел у нас занятия. И сейчас он лекции
читает. Очень рад, что именно ему довелось решить эту задачу,
сдвинуть ее с начальной точки. Александр Александрович получил
завершающие результаты в многомерном случае, да еще и в
пространствах постоянной кривизны. Это прекрасный результат.

— Насколько важны для молодого ученого учителя?

— Очень важны. Но не только учителя. У Саши ведь замечательный
отец— А.М. Гайфуллин, тоже ученый, член-корреспондент РАН,
работает в Жуковском, один из ведущих в стране специалистов по
теории вихревого движения сплошной среды. Поэтому воспитание
Александра — это коллективный труд.

— Валерий Васильевич, ваш институт — серьезное научное
учреждение. Но я слышала, что вы еще и веселиться
умеете.

— Не то слово! У нас на старый Новый год есть традиция: мы
собираемся все вместе и проводим интеллектуальные задания,
конкурсы. И у нас обязательно есть Дед Мороз и Снегурочка. Так
вот, Саша великолепно исполнил роль главного зимнего волшебника,
оказался очень артистичным и убедительным, при том что внешне он
кажется человеком стеснительным. Для меня это было неожиданно, но
очень приятно. Поэтому если захотите настоящих чудес, приходите к
нам.