КатегорияПроисхождение чисел

Около  35000 лет  назад,  в верхнем  палеолите,  неизвестный человек вырезал 29 зарубок на малой берцовой кости павиана. Кость эта была найдена в пещере в горах Лебомбо, что в Свази­ленде, а потому так и называется — «кость из Лебомбо». Счи­тается, что это счетная бирка — штука, на которой  записыва­ют числа в виде серии зарубок:  |,  ||,  |||  и так далее. В лунном месяце  29,5  суток, так что это может быть примитивный лун­ный календарь — или запись женского менструального цикла. 
Или, вообще говоря, случайный набор надрезов. Этакие кара­кули на кости. 
Еще одну счетную бирку с 55 отметками, на этот раз на вол­чьей кости, нашел в Чехословакии в  1937 г. Карел Абсолон. Ее возраст около 30000  лет. 
В 1960 г. бельгийский геолог Жан Эйнзелен де Брокур обна­ружил еще одну малую  берцовую кость павиана  с насечками среди остатков крохотной рыболовной деревушки, попавшей под извержение вулкана и погребенной под слоем пепла. Сто­янка  рыболовов  располагалась  в современном  Ишанго,  районе на границе Уганды и  Конго. Возраст  кости —  примерно 20000  лет. Простейшая  интерпретация  кости  из  Ишанго  —  это опять же счетная  бирка. Одни антропологи  идут еще дальше и находят в ней элементы  арифметической  структуры,  такие как  умножение,  деление  и  простые  числа;  другие  считают, что это шестимесячный лунный календарь; третьи же убежде­ны,  что насечки  на кости  сделаны для того, чтобы  костяной инструмент было удобнее держать в руке, и что в нем нет ника­кого математического смысла.

Рис.  1. Кость из Ишанго спереди и сзади. Музей естественных наук, 
Брюссель е

Находка, безусловно, интригующая. На кости имеется  три серии насечек. В центральной серии присутствуют числа  3, 6, 4 ,  8,  10 ,  5, 7. Дважды три — 6 , дважды  четыре — 8, а дваж­ды  пять  —  10 ;  однако  последняя  пара  чисел  располагается в обратном порядке, а 7 вообще никак не укладывается в схе­му. В левой серии располагаются группы по  11 , 13 , 17 , 19  насе­чек; это простые числа в интервале от  10 до  20 .  Правая серия дает нам нечетные числа  11 , 21 ,  19 ,  9 . Сумма чисел как в пра­вой, так и в левой части равна  60 . Проблема  с  интерпретацией  подобных  образцов  состоит в том, что в любой  серии  не  слишком  больших чисел  трудно не найти никаких закономерностей.  К примеру, в табл. 1 приведены площади десяти островов Багамского архипелага, занима­ющих места с 11-го по 20-е по площади среди всех островов. Что­бы внесли дополнительный элемент случайности, я расположил их в алфавитном порядке. Поверьте, это было первое, что при­шло мне в голову. Признаюсь, что я заменил бы их чем-нибудь другим, если бы эти числа не оправдали моих надежд, но они оправдали — и мне не пришлось ничего менять. 
Итак, какие «закономерности» можно заметить в этом набо­ре чисел? Там множество коротких последовательностей чисел, обладающих общими чертами. 

Рис.  2. Кажущиеся закономерности в площадях Багамских островов 

Для начала: весь список получился чудесно симметричным. С каждой стороны стоит по три числа, делящихся на три.  В сере­дине имеется пара чисел, кратных  10 , по бокам от которых сто­ят два числа, кратные  7. Более того, имеют место два квадрата: 9  = З2  и 49  =  72 ; то и другое — квадрат простого числа. Еще одна соседняя пара —  15  и  30 ;  одно из чисел вдвое больше другого. В последовательности  9 – 93 – 49  в каждом из чисел присутствует цифра 9. Каждое последующее число то больше, то меньше пре­дыдущего, за исключением цепочки  110 – 80 – 14 . Да, и вы замети­ли,  что среди этих десяти чисел нет ни одного простого? Сказанного достаточно. Еще одна проблема с костью из Ишан­го состоит в том, что найти какие бы то ни было дополнитель­ные данные в пользу любой конкретной интерпретации насечек практически невозможно. Бесспорно, история весьма интригу­ющая. Числовые головоломки всегда производят завораживаю­щее впечатление. Так что приведем менее спорный пример. 

Таблица 1

Название 
Площадь в квадратных  милях 

Берри
12

Бимини 
9

Крунед-Айленд 
93

Малый  Инагуа 
49

Маягуана 
110

Нью-Провиденс 
80

Рэггид-Айленд 
14

Рам-Ки 
30

Самана-Ки 
15

Сан-Сальвадор 
63

Десять  тысяч  лет  назад  на  Ближнем  Востоке  для  запи­си чисел использовались  специальные  глиняные бирки; чис­ла эти, скорее всего, были связаны с налогообложением  или, может  быть,  удостоверяли  право  владения.  Самые  древние бирки найдены при раскопках тепе (холмов) Асьяб и Гандж-и-
Дарех — двух археологических  памятников  в иранских  горах Загрос. Бирки представляли собой небольшие комочки глины разной  формы,  некоторые  из них отмечены  определенными символами. Считается, что шарик со знаком + обозначал одну овцу; семь таких шариков, соответственно,  обозначали  семь овец. Чтобы не делать слишком много шариков, имелись бир­ки другой формы, обозначавшие сразу десять овец. Были спе­циальные бирки для десяти коз и так далее. Археолог Дениза Шмандт-Бессера сделала вывод, что счетные бирки обозначали основные товары того времени: зерно, скот, кувшины масла. К 40 в.  до  н.  э.  счетные  бирки  нанизывали  на  бечевку, как  бусы.  Однако  такое  число  несложно  изменить,  добавив или убрав «бусины», поэтому были введены специальные меры предосторожности.  Весь  набор  бирок  оборачивали  в глину, которую затем  обжигали. Любой  спор о числах  можно  было разрешить,  разбив глиняную обертку. С 35 в. до н. э., чтобы не ломать каждый раз «документ», бюрократы древней Месо­потамии  начали  делать  надпись  на  «конверте»,  перечисляя содержащиеся внутри бирки. Затем  до  какого-то  умника  дошло,  что  надпись  снаружи делает бирки внутри лишними. Результатом стало  появление системы письменных числовых символов, проложивших доро­гу всем последующим системам числовой нотации и, возмож­но, письменности вообще. 

НазРис. 3. Глиняный нонверт и бухгалтерские бирки, период Урук, г. Сузы (Шуш)вание