Задача нахождения касательной к окружности является одной из основных задач геометрии. Она важна не только для теории, но и для практических применений, например, в задачах построения графиков функций, в технике и других областях.
Одной из подзадач этой задачи является нахождение касательной к окружности, проходящей через заданную точку А, лежащую вне окружности. В этой статье мы рассмотрим алгоритм решения данной задачи.
Алгоритм решения
Шаг 1: Построение радиусов окружности
Первым шагом в решении задачи является построение радиусов окружности, проходящих через точку А. Для этого мы проводим линии, соединяющие точку А с центром окружности и с ее пересечениями с окружностью.
Шаг 2: Построение биссектрисы угла
Следующим шагом является построение биссектрисы угла между радиусами, проходящими через точку А. Для этого мы находим точку пересечения этих радиусов и проводим через нее линию, перпендикулярную линии, соединяющей центр окружности с точкой пересечения.
Шаг 3: Нахождение точки касания
Третий шаг заключается в нахождении точки касания. Для этого мы находим середину отрезка, соединяющего точку А с точкой пересечения биссектрисы угла и линии, проходящей через точку пересечения радиусов и параллельной линии, соединяющей центр окружности с точкой пересечения.
Шаг 4: Построение касательной
И, наконец, четвертый шаг заключается в построении касательной к окружности, проходящей через точку А, лежащую вне окружности. Для этого мы проводим линию, соединяющую точку касания с точкой А. Эта линия является искомой касательной к окружности.
Примеры
Для наглядности рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти касательную к окружности с центром в точке O и радиусом r = 3, проходящую через точку А (-5, 2).
Решение:
- Построим радиус, проходящий через точку А: ОА = √((-5-0)² + (2-0)²) = √29.
- Построим линию, проходящую через точку А и пересекающую окружность: AB = √(r² – ОА²) = √(9 – 29) = √(-20).
- Построим биссектрису угла между радиусами: BD = AB / 2 = √(-20) / 2.
- Найдем точку пересечения биссектрисы и линии, проходящей через О и А: x = (0 + (-5)) / 2 = -2,5; y = (0 + 2) / 2 = 1.
- Построим линию, параллельную линии ОА, проходящую через точку пересечения биссектрисы и линии, проходящей через О и А: EF параллельна ОА и проходит через точку D.
- Найдем точку пересечения линии EF и окружности: ОЕ = r = 3.
- Найдем середину отрезка DE: x = (0 + (-2,5)) / 2 = -1,25; y = (0 + 1) / 2 = 0,5.
- Проведем линию, соединяющую точку А и точку касания G: AG проходит через точки A и M.
- Линия AG является касательной к окружности.
Пример 2. Найти касательную к окружности с центром в точке O и радиусом r = 4, проходящую через точку А (6, -3).
Решение:
- Построим радиус, проходящий через точку А: ОА = √((6-0)² + (-3-0)²) = √45.
- Построим линию, проходящую через точку А и пересекающую окружность: AB = √(r² – ОА²) = √(16 – 45) = √(-29).
- Построим биссектрису угла между радиусами: BD = AB / 2 = √(-29)
- Найдем точку пересечения биссектрисы и линии, проходящей через О и А: x = (0 + 6) / 2 = 3; y = (0 + (-3)) / 2 = -1,5.
- Построим линию, параллельную линии ОА, проходящую через точку пересечения биссектрисы и линии, проходящей через О и А: EF параллельна ОА и проходит через точку D.
- Найдем точку пересечения линии EF и окружности: ОЕ = r = 4.
- Найдем середину отрезка DE: x = (0 + 3) / 2 = 1,5; y = (0 + (-1,5)) / 2 = -0,75.
- Проведем линию, соединяющую точку А и точку касания G: AG проходит через точки A и N.
- Линия AG является касательной к окружности.
Вывод
Таким образом, если задана точка, лежащая вне окружности, можно найти касательную к окружности, проходящую через эту точку. Для этого нужно найти биссектрису угла между радиусами, проведенными из центра окружности и точки, через которую должна проходить касательная, и найти точку пересечения биссектрисы и линии, проходящей через центр окружности и эту точку. Затем необходимо провести линию, параллельную радиусу, проходящему через эту точку, и найти точку пересечения этой линии и окружности. Линия, проведенная через точку касания и данную точку, будет являться касательной к окружности.
