Российские математики вычислили оптимальный формат сетки турниров плей-офф

Суть формата плей-офф состоит в том, что в каждом матче играют две команды: победитель проходит в следующую стадию турнира, а проигравший выбывает. Математические расчеты позволили выявить две оптимальных системы распределения команд по турнирной таблице с точки зрения привлечения максимального интереса зрителей ко всем матчам турнира. Результаты работы были опубликованы в Journal of Combinatorial.

По схеме плей-офф проводятся многие соревнования, в которых участвует большое количество команд или индивидуальных участников, например, национальные кубки по футболу во многих странах. Организаторы турниров обычно хотят добиться оптимальной зрелищности. Эмпирические исследования доказывают, что среди параметров, влияющих на интерес к конкретному матчу, есть два непременных: качество матча и его конкурентность. Качество матча определяется суммой сил соперников, а конкурентность зависит от разницы в мастерстве: чем меньше разница, тем больше непредсказуемость, — тем выше спрос на просмотр этого матча.

Для того, чтобы защитить сильные команды от встречи друг с другом и выбывания на ранних этапах соревнования, во многих турнирах плей-офф существует «система посева» — распределение сильнейших участников по фиксированным удаленным друг от друга позициям турнирной сетки. Например, на Уимблдонском теннисном турнире «сеется» 32 участника из 128. Первый участник занимает первую строчку турнирной таблицы, второй участник — последнюю, таким образом, раньше финала они не встречаются. Третий участник «сеется» первым в нижней половине сетки, четвертый участник — последним в верхней половине сетки, и так далее. Это так называемая традиционная модель посева, которая используется во многих турнирах. Ученые НИУ ВШЭ задались вопросом: действительно ли такая система посева максимизирует общий интерес зрителей к турниру? Они поставили задачу среди всех возможных посевов оптимальный для поддержания зрелищности.

Поясняет Дмитрий Дагаев, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ: «Нам с Алексеем Суздальцевым из Стэнфордской высшей школы бизнеса удалось доказать, что если функция спроса на просмотр матча линейно зависит от качества матча и его конкурентности, а более сильные участники с достаточно большой вероятностью обыгрывают слабых, то существует всего лишь две возможные оптимальные системы посевов. Первая из них — как раз та, которая традиционно используется во многих турнирах, в частности в Уимблдонском турнире или Континентальной хоккейной лиге. Мы такую систему называем «далёкими посевами», когда в каждом раунде команда из верхней половины играет с какой-то из команд нижней половины. Такая система выгодна для организаторов, если они ценят (например, с точки зрения цен на билеты) финальный матч достаточно высоко по сравнению с матчами первого раунда. Напротив, если для организаторов финал важен примерно в той же степени, как и матчи предварительных этапов, — тогда им следует придерживаться другой системы посева».

Математики Дмитрий Дагаев и Алексей Суздальцев доказали, что в этом случае сильнейшая команда должна играть со второй по силе командой, третья — с четвертой, пятая — с шестой и так далее. Такую систему посевов они назвали «близкими посевами». Оказалось, что никаких оптимальных посевов кроме близких и далёких не бывает, несмотря на то, что разных способов распределить команды по турнирной сетке, очень велико.

В основе теоретической модели ученых было две предпосылки: зависимость от конкурентности матчей и силы команд, а также предположение о том, что более сильная команда обыгрывает более слабую с достаточно большой вероятностью. Этих предпосылок оказалось достаточно, чтобы показать, что только два типа посевов являются оптимальными. Ученые отмечают, что им неизвестны турниры, которые используют близкую систему посевов, поэтому результат исследования может свидетельствовать о том, что эта система недооценивалась организаторами соревнований или не рассматривалась вовсе.